Regresión cuantil

Técnica de modelado estadístico

La regresión cuantil es un tipo de análisis de regresión que se utiliza en estadística y econometría. Mientras que el método de mínimos cuadrados estima la media condicional de la variable de respuesta a través de los valores de las variables predictoras, la regresión cuantil estima la mediana condicional (u otros cuantiles ) de la variable de respuesta. [También existe un método para predecir la media geométrica condicional de la variable de respuesta, ^[1] .] La regresión cuantil es una extensión de la regresión lineal que se utiliza cuando no se cumplen las condiciones de la regresión lineal.

Ejemplo de regresión cuantil

Ventajas y aplicaciones

Una ventaja de la regresión cuantil en relación con la regresión de mínimos cuadrados ordinarios es que las estimaciones de regresión cuantil son más robustas frente a valores atípicos en las mediciones de respuesta. Sin embargo, el principal atractivo de la regresión cuantil va más allá de esto y es ventajosa cuando las funciones cuantiles condicionales son de interés. Se pueden utilizar diferentes medidas de tendencia central y dispersión estadística para analizar de forma más exhaustiva la relación entre las variables. ^[2]

En ecología , se ha propuesto y utilizado la regresión cuantil como una forma de descubrir relaciones predictivas más útiles entre variables en casos en los que no existe relación o solo una relación débil entre las medias de dichas variables. La necesidad y el éxito de la regresión cuantil en ecología se ha atribuido a la complejidad de las interacciones entre diferentes factores que conducen a datos con variación desigual de una variable para diferentes rangos de otra variable. ^[3]

Otra aplicación de la regresión cuantil es en las áreas de gráficos de crecimiento, donde las curvas de percentiles se utilizan comúnmente para detectar el crecimiento anormal. ^{[4] [5]}

Historia

La idea de estimar una pendiente de regresión mediana, un teorema mayor sobre la minimización de la suma de las desviaciones absolutas y un algoritmo geométrico para construir la regresión mediana fue propuesta en 1760 por Ruđer Josip Bošković , un sacerdote católico jesuita de Dubrovnik. ^{[2] : 4  [6]} Estaba interesado en la elipticidad de la Tierra, basándose en la sugerencia de Isaac Newton de que su rotación podría causar que se abulte en el ecuador con un aplanamiento correspondiente en los polos. ^[7] Finalmente produjo el primer procedimiento geométrico para determinar el ecuador de un planeta en rotación a partir de tres observaciones de una característica de la superficie. Más importante aún para la regresión cuantil, pudo desarrollar la primera evidencia del criterio mínimo absoluto y precedió a los mínimos cuadrados introducidos por Legendre en 1805 por cincuenta años. ^[8]

Otros pensadores comenzaron a desarrollar la idea de Bošković, como Pierre-Simon Laplace , quien desarrolló el llamado "método de situación". Esto condujo a la mediana plural de Francis Edgeworth ^[9] , un enfoque geométrico para la regresión mediana, y es reconocido como el precursor del método simplex . ^[8] Los trabajos de Bošković, Laplace y Edgeworth fueron reconocidos como un preludio a las contribuciones de Roger Koenker a la regresión cuantil.

Los cálculos de regresión mediana para conjuntos de datos más grandes son bastante tediosos en comparación con el método de mínimos cuadrados, por lo que históricamente ha generado una falta de popularidad entre los estadísticos, hasta la adopción generalizada de computadoras en la última parte del siglo XX.

Antecedentes: cuantiles

La regresión cuantil expresa los cuantiles condicionales de una variable dependiente como una función lineal de las variables explicativas. Un aspecto fundamental para la viabilidad de la regresión cuantil es que los cuantiles se pueden expresar como la solución de un problema de minimización, como demostraremos en esta sección antes de analizar los cuantiles condicionales en la siguiente sección.

Cuantil de una variable aleatoria

Sea una variable aleatoria de valor real con función de distribución acumulativa . El cuartil n de Y está dado por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle q_{Y}(\tau )=F_{Y}^{-1}(\tau )=\inf \left\{y:F_{Y}(y)\geq \tau \right\}}$

dónde ${\displaystyle \tau \in (0,1).}$

Defina la función de pérdida como , donde es una función indicadora . Se puede encontrar un cuartil específico minimizando la pérdida esperada de con respecto a : ^[2] (pp. 5–6): ${\displaystyle \rho _{\tau }(m)=m(\tau -\mathbb {I} _{(m<0)})}$ ${\displaystyle \mathbb {I} }$ ${\displaystyle Y-u}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle q_{Y}(\tau )={\underset {u}{\mbox{arg min}}}E(\rho _{\tau }(Y-u))={\underset {u}{\mbox{arg min}}}{\biggl \{}(\tau -1)\int _{-\infty }^{u}(y-u)dF_{Y}(y)+\tau \int _{u}^{\infty }(y-u)dF_{Y}(y){\biggr \}}.}$

Esto se puede demostrar calculando la derivada de la pérdida esperada con respecto a mediante una aplicación de la regla integral de Leibniz , fijándola en 0 y dejando que sea la solución de ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle q_{\tau }}$

${\displaystyle 0=(1-\tau )\int _{-\infty }^{q_{\tau }}dF_{Y}(y)-\tau \int _{q_{\tau }}^{\infty }dF_{Y}(y).}$

Esta ecuación se reduce a

${\displaystyle 0=F_{Y}(q_{\tau })-\tau ,}$

y luego a

${\displaystyle F_{Y}(q_{\tau })=\tau .}$

Si la solución no es única , entonces tenemos que tomar la solución más pequeña para obtener el ésimo cuartil de la variable aleatoria Y. ${\displaystyle q_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$

Ejemplo

Sea una variable aleatoria discreta que toma valores con probabilidades iguales. La tarea es encontrar la mediana de Y, y por lo tanto se elige el valor. Entonces la pérdida esperada de es ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y_{i}=i}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots ,9}$ ${\displaystyle \tau =0.5}$ ${\displaystyle Y-u}$

${\displaystyle L(u)=E(\rho _{\tau }(Y-u))={\frac {(\tau -1)}{9}}\sum _{y_{i}<u}}$ ${\displaystyle (y_{i}-u)}$ ${\displaystyle +{\frac {\tau }{9}}\sum _{y_{i}\geq u}}$ ${\displaystyle (y_{i}-u)}$ ${\displaystyle ={\frac {0.5}{9}}{\Bigl (}}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \sum _{y_{i}<u}}$ ${\displaystyle (y_{i}-u)}$ ${\displaystyle +\sum _{y_{i}\geq u}}$ ${\displaystyle (y_{i}-u)}$ ${\displaystyle {\Bigr )}.}$

Dado que es una constante, se puede sacar de la función de pérdida esperada (esto solo es cierto si ). Entonces, en u = 3, ${\displaystyle {0.5/9}}$ ${\displaystyle \tau =0.5}$

${\displaystyle L(3)\propto \sum _{i=1}^{2}}$ ${\displaystyle -(i-3)}$ ${\displaystyle +\sum _{i=3}^{9}}$ ${\displaystyle (i-3)}$ ${\displaystyle =[(2+1)+(0+1+2+...+6)]=24.}$

Supongamos que u aumenta en 1 unidad. Entonces, la pérdida esperada cambiará al cambiar u a 4. Si u = 5, la pérdida esperada es ${\displaystyle (3)-(6)=-3}$

${\displaystyle L(5)\propto \sum _{i=1}^{4}i+\sum _{i=0}^{4}i=20,}$

y cualquier cambio en u aumentará la pérdida esperada. Por lo tanto, u = 5 es la mediana. La siguiente tabla muestra la pérdida esperada (dividida por ) para diferentes valores de u . ${\displaystyle {0.5/9}}$

Intuición

Consideremos y sea q una estimación inicial para . La pérdida esperada evaluada en q es ${\displaystyle \tau =0.5}$ ${\displaystyle q_{\tau }}$

${\displaystyle L(q)=-0.5\int _{-\infty }^{q}(y-q)dF_{Y}(y)+0.5\int _{q}^{\infty }(y-q)dF_{Y}(y).}$

Para minimizar la pérdida esperada, movemos un poco el valor de q para ver si la pérdida esperada aumentará o disminuirá. Supongamos que aumentamos q en 1 unidad. Entonces el cambio de la pérdida esperada sería

${\displaystyle \int _{-\infty }^{q}1dF_{Y}(y)-\int _{q}^{\infty }1dF_{Y}(y).}$

El primer término de la ecuación es y el segundo término de la ecuación es . Por lo tanto, el cambio de la función de pérdida esperada es negativo si y solo si , es decir, si y solo si q es menor que la mediana. De manera similar, si reducimos q en 1 unidad, el cambio de la función de pérdida esperada es negativo si y solo si q es mayor que la mediana. ${\displaystyle F_{Y}(q)}$ ${\displaystyle 1-F_{Y}(q)}$ ${\displaystyle F_{Y}(q)<0.5}$

Para minimizar la función de pérdida esperada, aumentaríamos (disminuiríamos) L ( q ) si q es menor (mayor) que la mediana, hasta que q alcance la mediana. La idea detrás de la minimización es contar la cantidad de puntos (ponderados con la densidad) que son mayores o menores que q y luego mover q a un punto donde q sea mayor que % de los puntos. ${\displaystyle 100\tau }$

Cuantil de muestra

El cuartil de muestra se puede obtener utilizando una estimación de muestreo de importancia y resolviendo el siguiente problema de minimización ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\hat {q}}_{\tau }={\underset {q\in \mathbb {R} }{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}\rho _{\tau }(y_{i}-q),}$

${\displaystyle ={\underset {q\in \mathbb {R} }{\mbox{arg min}}}\left[(\tau -1)\sum _{y_{i}<q}(y_{i}-q)+\tau \sum _{y_{i}\geq q}(y_{i}-q)\right]}$,

donde la función es la función de valor absoluto inclinada. La intuición es la misma que para el cuantil poblacional. ${\displaystyle \rho _{\tau }}$

Cuantil condicional y regresión cuantil

El ésimo cuartil condicional de dado es el ésimo cuartil de la distribución de probabilidad condicional de dado , ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=\inf \left\{y:F_{Y|X}(y)\geq \tau \right\}}$.

Utilizamos una mayúscula para denotar el cuantil condicional para indicar que es una variable aleatoria. ${\displaystyle Q}$

En la regresión cuantil para el ésimo cuartil suponemos que el ésimo cuartil condicional se da como una función lineal de las variables explicativas: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$.

Dada la función de distribución de , se puede obtener resolviendo ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \beta _{\tau }}$

${\displaystyle \beta _{\tau }={\underset {\beta \in \mathbb {R} ^{k}}{\mbox{arg min}}}E(\rho _{\tau }(Y-X\beta )).}$

Resolviendo el análogo de muestra obtenemos el estimador de . ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\hat {\beta _{\tau }}}={\underset {\beta \in \mathbb {R} ^{k}}{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}(\rho _{\tau }(Y_{i}-X_{i}\beta )).}$

Tenga en cuenta que cuando , la función de pérdida es proporcional a la función de valor absoluto y, por lo tanto, la regresión mediana es lo mismo que la regresión lineal por mínimas desviaciones absolutas . ${\displaystyle \tau =0.5}$ ${\displaystyle \rho _{\tau }}$

Cálculo de estimaciones para parámetros de regresión

Las formas matemáticas que surgen de la regresión cuantil son distintas de las que surgen en el método de mínimos cuadrados . El método de mínimos cuadrados conduce a la consideración de problemas en un espacio de producto interno , que implica proyección sobre subespacios, y por lo tanto el problema de minimizar los errores al cuadrado puede reducirse a un problema de álgebra lineal numérica . La regresión cuantil no tiene esta estructura y, en cambio, el problema de minimización puede reformularse como un problema de programación lineal .

${\displaystyle {\underset {\beta ,u^{+},u^{-}\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} _{+}^{2n}}{\min }}\left\{\tau 1_{n}^{'}u^{+}+(1-\tau )1_{n}^{'}u^{-}|X\beta +u^{+}-u^{-}=Y\right\},}$

dónde

${\displaystyle u_{j}^{+}=\max(u_{j},0)}$,    ${\displaystyle u_{j}^{-}=-\min(u_{j},0).}$

Se pueden aplicar los métodos simplex ^{[2] : 181} o los métodos de punto interior ^{[2] : 190  para resolver el problema de programación lineal.}

Propiedades asintóticas

Para , bajo ciertas condiciones de regularidad, es asintóticamente normal : ${\displaystyle \tau \in (0,1)}$ ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{\tau }}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\beta }}_{\tau }-\beta _{\tau }){\overset {d}{\rightarrow }}N(0,\tau (1-\tau )D^{-1}\Omega _{x}D^{-1}),}$

dónde

${\displaystyle D=E(f_{Y}(X\beta )XX^{\prime })}$y ${\displaystyle \Omega _{x}=E(X^{\prime }X).}$

La estimación directa de la matriz de varianza-covarianza asintótica no siempre es satisfactoria. La inferencia de los parámetros de regresión cuantílica se puede realizar con las pruebas de puntuación de rango de regresión o con los métodos bootstrap. ^[10]

Equivariancia

Consulte el estimador invariante para obtener información básica sobre la invariancia o consulte equivariancia .

Equivariancia de escala

Para cualquier y ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle \tau \in [0,1]}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;aY,X)=a{\hat {\beta }}(\tau ;Y,X),}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;-aY,X)=-a{\hat {\beta }}(1-\tau ;Y,X).}$

Equivariancia de desplazamiento

Para cualquier y ${\displaystyle \gamma \in R^{k}}$ ${\displaystyle \tau \in [0,1]}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;Y+X\gamma ,X)={\hat {\beta }}(\tau ;Y,X)+\gamma .}$

Equivariancia a la reparametrización del diseño

Sea cualquier matriz no singular y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle \tau \in [0,1]}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;Y,XA)=A^{-1}{\hat {\beta }}(\tau ;Y,X).}$

Invariancia a transformaciones monótonas

Si es una función no decreciente en , se aplica la siguiente propiedad de invariancia : ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle h(Q_{Y|X}(\tau ))\equiv Q_{h(Y)|X}(\tau ).}$

Ejemplo (1):

Si y , entonces . La regresión media no tiene la misma propiedad ya que ${\displaystyle W=\exp(Y)}$ ${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$ ${\displaystyle Q_{W|X}(\tau )=\exp(X\beta _{\tau })}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(Y))\neq \ln(\operatorname {E} (Y)).}$

Inferencia

Interpretación de los parámetros de pendiente

El modelo lineal especifica erróneamente la verdadera relación sistemática cuando no es lineal. Sin embargo, minimiza una distancia ponderada entre los modelos lineales. ^[11] Además, los parámetros de pendiente del modelo lineal se pueden interpretar como promedios ponderados de las derivadas, de modo que se pueden utilizar para la inferencia causal. ^[12] Específicamente, la hipótesis para todos implica la hipótesis , que se puede probar utilizando el estimador y su distribución límite. ${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$ ${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=f(X,\tau )}$ ${\displaystyle f(\cdot ,\tau )}$ ${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$ ${\displaystyle f(X,\tau )}$ ${\displaystyle \beta _{\tau }}$ ${\displaystyle \nabla f(X,\tau )}$ ${\displaystyle \beta _{\tau }}$ ${\displaystyle H_{0}:\nabla f(x,\tau )=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H_{0}:\beta _{\tau }=0}$ ${\displaystyle {\hat {\beta _{\tau }}}}$

Bondad de ajuste

La bondad de ajuste para la regresión cuantil para el cuantil se puede definir como: ^[13] donde es la suma de los cuadrados del cuantil condicional, mientras que es la suma de los cuadrados del cuantil incondicional. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle R^{2}(\tau )=1-{\frac {{\hat {V}}_{\tau }}{{\tilde {V}}_{\tau }}},}$ ${\displaystyle {\hat {V}}_{\tau }}$ ${\displaystyle {\tilde {V}}_{\tau }}$

Variantes

Métodos bayesianos para la regresión cuantil

Debido a que la regresión cuantil normalmente no supone una probabilidad paramétrica para las distribuciones condicionales de Y|X, los métodos bayesianos funcionan con una probabilidad de trabajo. Una opción conveniente es la probabilidad laplaciana asimétrica ^[14], porque la moda de la posterior resultante bajo una probabilidad previa plana es la estimación habitual de la regresión cuantil. Sin embargo, la inferencia posterior debe interpretarse con cuidado. Yang, Wang y He ^[15] proporcionaron un ajuste de varianza posterior para una inferencia válida. Además, Yang y He ^[16] demostraron que se puede tener una inferencia posterior asintóticamente válida si se elige que la probabilidad de trabajo sea la probabilidad empírica.

Métodos de aprendizaje automático para la regresión cuantil

Más allá de la regresión lineal simple, existen varios métodos de aprendizaje automático que se pueden extender a la regresión cuantil. Un cambio del error al cuadrado a la función de pérdida de valor absoluto inclinado (también conocida como pérdida de pinball ^[17] ) permite que los algoritmos de aprendizaje basados ​​en el descenso de gradiente aprendan un cuantil específico en lugar de la media. Esto significa que podemos aplicar todos los algoritmos de redes neuronales y aprendizaje profundo a la regresión cuantil, ^{[18] [19]} que luego se conoce como regresión cuantil no paramétrica . ^[20] Los algoritmos de aprendizaje basados ​​en árboles también están disponibles para la regresión cuantil (consulte, por ejemplo, Bosques de regresión cuantil, ^[21] como una generalización simple de Bosques aleatorios ).

Regresión cuantil censurada

Si la variable de respuesta está sujeta a censura, la media condicional no es identificable sin suposiciones distributivas adicionales, pero el cuantil condicional a menudo sí lo es. Para trabajos recientes sobre regresión cuantil censurada, véase: Portnoy ^[22] y Wang y Wang ^[23]

Ejemplo (2):

Sea y . Entonces . Este es el modelo de regresión cuantil censurada: los valores estimados se pueden obtener sin hacer ninguna suposición distributiva, pero a costa de la dificultad computacional, ^[24] parte de la cual se puede evitar utilizando un procedimiento simple de regresión cuantil censurada de tres pasos como aproximación. ^[25] ${\displaystyle Y^{c}=\max(0,Y)}$ ${\displaystyle Q_{Y|X}=X\beta _{\tau }}$ ${\displaystyle Q_{Y^{c}|X}(\tau )=\max(0,X\beta _{\tau })}$

Para la censura aleatoria de las variables de respuesta, la regresión cuantil censurada de Portnoy (2003) ^[22] proporciona estimaciones consistentes de todas las funciones cuantiles identificables basadas en la reponderación apropiada de cada punto censurado.

La regresión cuantil censurada tiene vínculos estrechos con el análisis de supervivencia .

Representación de dos estimadores de Kaplan-Meier para las probabilidades de supervivencia de dos grupos de pacientes en función del tiempo , donde es la función de distribución de las muertes. El cuantil de las muertes es , donde es la función cuantil de las muertes. La regresión cuantil censurada se puede utilizar para estimar estos cuantiles condicionales individualmente, mientras que el análisis de supervivencia estima la función de supervivencia (condicional). ${\displaystyle S(t)=1-F(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t_{\tau }=F^{-1}(\tau )}$ ${\displaystyle F^{-1}}$

Errores heterocedásticos

La pérdida de regresión cuantil debe adaptarse en presencia de errores heterocedásticos para que sea eficiente . ^[26]

Implementaciones

Numerosos paquetes de software estadístico incluyen implementaciones de regresión cuantil:

• Función de Matlab quantreg^[27]
• Gretl tiene el quantregmando. ^[28]
• R ofrece varios paquetes que implementan la regresión cuantil, el más notable es quantregel de Roger Koenker , ^[29] pero también ^[30]gbm , ^{[31] [32]} y ^[33]. quantregForest qrnnqgam
• Python , a través de Scikit-garden^[34] y statsmodels^[35]
• SAS a través de proc quantreg(ver. 9.2) ^[36] y proc quantselect(ver. 9.3). ^[37]
• Stata , a través del qregcomando. ^{[38] [39]}
• Conejo vocal , vía --loss_function quantile. ^[40]
• Paquete Mathematica QuantileRegression.m^[41] alojado en el proyecto MathematicaForPrediction en GitHub.
• Función del lenguaje Wolfram QuantileRegression^[42] alojada en el repositorio de funciones Wolfram.

Véase también

• Regresión de desviaciones mínimas absolutas
• Predicción conforme

Literatura

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Referencias

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