El problema de Burnside pregunta si un grupo generado finitamente en el que cada elemento tiene un orden finito debe ser necesariamente un grupo finito . Fue planteada por William Burnside en 1902, convirtiéndola en una de las preguntas más antiguas de la teoría de grupos , y fue influyente en el desarrollo de la teoría combinatoria de grupos . Se sabe que tiene una respuesta negativa en general, como Evgeny Golod e Igor Shafarevich proporcionaron un contraejemplo en 1964. El problema tiene muchos refinamientos y variantes que difieren en las condiciones adicionales impuestas a los órdenes de los elementos del grupo (ver acotados y restringido a continuación). Algunas de estas variantes siguen siendo interrogantes abiertos .
El trabajo inicial apuntaba hacia la respuesta afirmativa. Por ejemplo, si un grupo G se genera de forma finita y el orden de cada elemento de G es divisor de 4, entonces G es finito. Además, AI Kostrikin pudo demostrar en 1958 que entre los grupos finitos con un número dado de generadores y un exponente primo dado, existe uno de mayor tamaño. Esto proporciona una solución al problema restringido de Burnside para el caso del exponente primo. (Más tarde, en 1989, Efim Zelmanov pudo resolver el problema restringido de Burnside para un exponente arbitrario). Issai Schur había demostrado en 1911 que cualquier grupo periódico generado finitamente que fuera un subgrupo del grupo de matrices complejas invertibles de n × n era finito. ; Usó este teorema para demostrar el teorema de Jordan-Schur . [1]
Sin embargo, la respuesta general al problema de Burnside resultó ser negativa. En 1964, Golod y Shafarevich construyeron un grupo infinito de tipo Burnside sin asumir que todos los elementos tienen un orden uniformemente acotado. En 1968, Pyotr Novikov y Sergei Adian proporcionaron una solución negativa al problema del exponente acotado para todos los exponentes impares mayores que 4381, que luego fue mejorada a un exponente impar mayor que 665 por Adian [2] y el mejor número impar acotado es 101 también por Adián. En 1982, A. Yu. Ol'shanskii encontró algunos contraejemplos sorprendentes para exponentes impares suficientemente grandes (mayores que 10 10 ) y proporcionó una prueba considerablemente más simple basada en ideas geométricas.
El caso de los exponentes pares resultó ser mucho más difícil de resolver. En 1992, SV Ivanov anunció la solución negativa para exponentes pares suficientemente grandes divisibles por una potencia grande de 2 (en 1994 se publicaron pruebas detalladas que ocuparon unas 300 páginas). El trabajo conjunto posterior de Ol'shanskii e Ivanov estableció una solución negativa a un análogo del problema de Burnside para grupos hiperbólicos , siempre que el exponente sea suficientemente grande. Por el contrario, cuando el exponente es pequeño y diferente de 2, 3, 4 y 6, se sabe muy poco.
Un grupo G se llama periódico (o de torsión) si cada elemento tiene orden finito; en otras palabras, para cada g en G , existe algún entero positivo n tal que g n = 1. Claramente, todo grupo finito es periódico. Existen grupos fácilmente definidos como el p ∞ -grupo que son infinitos grupos periódicos; pero el último grupo no puede generarse de forma finita.
Problema general de Burnside. Si G es un grupo periódico generado finitamente, ¿es G necesariamente finito?
Esta pregunta fue respondida negativamente en 1964 por Evgeny Golod e Igor Shafarevich , quienes dieron un ejemplo de un grupo p infinito que se genera de forma finita (ver teorema de Golod-Shafarevich ). Sin embargo, los órdenes de los elementos de este grupo no están a priori limitados por una única constante.
Parte de la dificultad con el problema general de Burnside es que los requisitos de ser generado finitamente y periódico dan muy poca información sobre la posible estructura de un grupo. Por lo tanto, planteamos más requisitos a G. Considere un grupo periódico G con la propiedad adicional de que existe un mínimo entero n tal que para todo g en G , g n = 1. Se dice que un grupo con esta propiedad es periódico con exponente acotado n , o simplemente un grupo con exponente n . El problema de Burnside para grupos con exponente acotado plantea:
Problema de Burnside I. Si G es un grupo generado finitamente con exponente n , ¿ G es necesariamente finito?
Resulta que este problema puede reformularse como una cuestión sobre la finitud de los grupos en una familia particular. El grupo libre de Burnside de rango m y exponente n , denotado B( m , n ), es un grupo con m generadores distinguidos x 1 , ..., x m en el que la identidad x n = 1 se cumple para todos los elementos x , y cuál es el grupo "más grande" que cumple estos requisitos. Más precisamente, la propiedad característica de B( m , n ) es que, dado cualquier grupo G con m generadores g 1 , ..., g m y de exponente n , existe un homomorfismo único de B( m , n ) a G que asigna el i ésimo generador x i de B( m , n ) al i ésimo generador g i de G . En el lenguaje de presentaciones grupales , el grupo libre de Burnside B( m , n ) tiene m generadores x 1 , ..., x m y las relaciones x n = 1 para cada palabra x en x 1 , ..., x m , y cualquier grupo G con m generadores de exponente n se obtiene a partir de él imponiendo relaciones adicionales. La existencia del grupo Burnside libre y su unicidad hasta un isomorfismo se establecen mediante técnicas estándar de teoría de grupos. Por lo tanto , si G es cualquier grupo de exponente n finitamente generado , entonces G es una imagen homomórfica de B( m , n ), donde m es el número de generadores de G. El problema de Burnside ahora se puede reformular de la siguiente manera:
Problema del lado quemado II. ¿Para qué enteros positivos m , n es finito el grupo libre de Burnside B( m , n )?
Se desconoce la solución completa al problema de Burnside en esta forma. Burnside consideró algunos casos sencillos en su artículo original:
Se conocen los siguientes resultados adicionales (Burnside, Sanov, M. Hall ):
El caso particular de B(2, 5) permanece abierto.
El gran avance en la solución del problema de Burnside lo lograron Pyotr Novikov y Sergei Adian en 1968. Utilizando un complicado argumento combinatorio, demostraron que para cada número impar n con n > 4381, existen infinitos grupos de exponente n finitamente generados . Posteriormente, Adian mejoró el límite del exponente impar a 665. [3] La última mejora del límite del exponente impar es 101 obtenido por el propio Adian en 2015. El caso del exponente par resultó ser considerablemente más difícil. No fue hasta 1994 que Sergei Vasilievich Ivanov pudo demostrar un análogo del teorema de Novikov-Adian: para cualquier m > 1 y un par n ≥ 2 48 , n divisible por 2 9 , el grupo B( m , n ) es infinito ; junto con el teorema de Novikov-Adian, esto implica infinidad para todo m > 1 y n ≥ 2 48 . Esto fue mejorado en 1996 por IG Lysënok a m > 1 y n ≥ 8000. Novikov-Adian, Ivanov y Lysënok establecieron resultados considerablemente más precisos sobre la estructura de los grupos libres de Burnside. En el caso del exponente impar, se demostró que todos los subgrupos finitos de los grupos de Burnside libres eran grupos cíclicos. En el caso del exponente par, cada subgrupo finito está contenido en un producto de dos grupos diédricos , y existen subgrupos finitos no cíclicos. Además, se demostró que los problemas de palabras y de conjugación se pueden resolver eficazmente en B( m , n ) tanto para los casos de exponentes pares como impares n .
Una famosa clase de contraejemplos del problema de Burnside está formada por grupos infinitos no cíclicos generados finitamente en los que cada subgrupo propio no trivial es un grupo cíclico finito , los llamados monstruos de Tarski . Los primeros ejemplos de estos grupos fueron construidos por A. Yu. Ol'shanskii en 1979 utilizando métodos geométricos, resolviendo así afirmativamente O. Yu. El problema de Schmidt. En 1982, Ol'shanskii pudo reforzar sus resultados para establecer la existencia, para cualquier número primo p suficientemente grande (se puede tomar p > 10 75 ), de un grupo infinito finitamente generado en el que cada subgrupo propio no trivial es un grupo cíclico de orden p. . En un artículo publicado en 1996, Ivanov y Ol'shanskii resolvieron un análogo del problema de Burnside en un grupo hiperbólico arbitrario para exponentes suficientemente grandes.
Formulado en la década de 1930, plantea otra pregunta relacionada:
Problema de Burnside restringido. Si se sabe que un grupo G con m generadores y exponente n es finito, ¿ se puede concluir que el orden de G está acotado por alguna constante que depende sólo de myn ? De manera equivalente, ¿existen sólo un número finito de grupos finitos con m generadores de exponente n , hasta el isomorfismo ?
Esta variante del problema de Burnside también se puede plantear en términos de teoría de categorías: una respuesta afirmativa para todo m equivale a decir que la categoría de grupos finitos de exponente n tiene todos los límites finitos y colimites. [4] También se puede expresar más explícitamente en términos de ciertos grupos universales con m generadores y exponente n . Según los resultados básicos de la teoría de grupos, la intersección de dos subgrupos normales de índice finito en cualquier grupo es en sí misma un subgrupo normal de índice finito. Por lo tanto, la intersección M de todos los subgrupos normales del grupo libre de Burnside B ( m , n ) que tienen índice finito es un subgrupo normal de B ( m , n ). Por lo tanto, se puede definir el grupo Burnside restringido y libre B 0 ( m , n ) como el grupo cociente B( m , n )/ M . Cada grupo finito de exponente n con m generadores es isomorfo a B( m , n )/ N donde N es un subgrupo normal de B( m , n ) con índice finito. Por lo tanto, según el Tercer Teorema del Isomorfismo , cada grupo finito de exponente n con m generadores es isomorfo a B 0 ( m , n )/( N / M ) — en otras palabras, es una imagen homomórfica de B 0 ( m , n ). El problema restringido de Burnside pregunta entonces si B 0 ( m , n ) es un grupo finito. En términos de teoría de categorías, B 0 ( m , n ) es el coproducto de n grupos cíclicos de orden m en la categoría de grupos finitos de exponente n .
En el caso del exponente primo p , este problema fue estudiado extensamente por AI Kostrikin durante la década de 1950, antes de la solución negativa del problema general de Burnside. Su solución, estableciendo la finitud de B 0 ( m , p ), utilizó una relación con preguntas profundas sobre identidades en álgebras de Lie en características finitas. El caso del exponente arbitrario fue resuelto afirmativamente por Efim Zelmanov , que recibió la medalla Fields en 1994 por su trabajo.