Problema de conjugación

En álgebra abstracta , el problema de conjugación para un grupo G con una presentación dada es el problema de decisión de determinar, dadas dos palabras x e y en G , si representan o no elementos conjugados de G. Es decir, el problema consiste en determinar si existe un elemento z de G tal que

${\displaystyle y=zxz^{-1}.\,\!}$

El problema de conjugación también se conoce como problema de transformación .

El problema de conjugación fue identificado por Max Dehn en 1911 como uno de los problemas de decisión fundamentales en la teoría de grupos; los otros dos son el problema de las palabras y el problema del isomorfismo . El problema de conjugación contiene el problema de las palabras como un caso especial: si x e y son palabras, decidir si son la misma palabra es equivalente a decidir si es la identidad, que es lo mismo que decidir si es conjugado a la identidad. En 1912, Dehn presentó un algoritmo que resuelve tanto el problema de las palabras como el de la conjugación para los grupos fundamentales de variedades bidimensionales orientables cerradas de género mayor o igual a 2 (siendo triviales los casos de género 0 y género 1). ${\displaystyle xy^{-1}}$

Se sabe que el problema de conjugación es indecidible para muchas clases de grupos. Las clases de presentaciones de grupo para las que se sabe que es solucionable incluyen:

• grupos libres (sin relacionadores definidores)
• grupos de un solo relator con torsión
• grupos de trenzas
• grupos de nudos
• grupos separables de conjugación finitamente presentados
• grupos abelianos generados finitamente (los relacionadores incluyen todos los conmutadores)
• Grupos hiperbólicos de Gromov
• grupos biautomaticos
• Grupos CAT(0)
• Grupos fundamentales de 3-variedades geometrizables

Referencias

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• Dehn, Max (1911). "Über unendliche diskontinuierliche Gruppen". Matemáticas. Ana . 71 (1): 116-144. doi :10.1007/BF01456932. S2CID  123478582.
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• Bridson, Martín; André Haefliger (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64324-1.
• Préaux, Jean-Philippe (2006). "Problema de conjugación en grupos de 3-variedades geometrizables orientadas". Topología . 45 (1): 171–208. arXiv : 1308.2888 . doi :10.1016/j.top.2005.06.002. S2CID  14602585.