Operador unitario

En el análisis funcional , un operador unitario es un operador sobreyectivo acotado en un espacio de Hilbert que preserva el producto interno . Los operadores unitarios suelen considerarse como operadores que operan en un espacio de Hilbert, pero la misma noción sirve para definir el concepto de isomorfismo entre espacios de Hilbert.

Definición

Definición 1. Un operador unitario es un operador lineal acotado $U : H \to H$ en un espacio de Hilbert $H$ que satisface $U * U = UU * = I$ , donde $U *$ es el adjunto de $U$ , y $I : H \to H$ es el operador identidad .

La condición más débil $U * U = I$ define una isometría . La otra condición más débil, $UU * = I$ , define una coisometría . Por lo tanto, un operador unitario es un operador lineal acotado que es a la vez una isometría y una coisometría ^[1] o, equivalentemente, una isometría sobreyectiva ^{[2] .}

Una definición equivalente es la siguiente:

Definición 2. Un operador unitario es un operador lineal acotado $U : H \to H$ en un espacio de Hilbert $H$ para el cual se cumple lo siguiente:

$U$ es sobreyectiva , y
$U$ conserva el producto interno del espacio de Hilbert, $H$ . En otras palabras, para todos los vectores $x$ $e$ y en $H$ tenemos:
$\langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.$

La noción de isomorfismo en la categoría de espacios de Hilbert se captura si se permite que el dominio y el rango difieran en esta definición. Las isometrías preservan las secuencias de Cauchy ; por lo tanto , se preserva la propiedad de completitud de los espacios de Hilbert ^[3]

La siguiente definición, aparentemente más débil, también es equivalente:

Definición 3. Un operador unitario es un operador lineal acotado $U : H \to H$ en un espacio de Hilbert $H$ para el que se cumple lo siguiente:

el rango de $U$ es denso en $H$ , y
$U$ conserva el producto interno del espacio de Hilbert, $H$ . En otras palabras, para todos los vectores $x$ $e$ y en $H$ tenemos:
$\langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.$

Para ver que las definiciones 1 y 3 son equivalentes, observe que el hecho de que $U$ conserve el producto interno implica que $U$ es una isometría (por lo tanto, un operador lineal acotado ). El hecho de que $U$ tenga un rango denso garantiza que tenga una inversa acotada $U -1$ . Es claro que $U -1 = U *$ .

Por lo tanto, los operadores unitarios son simplemente automorfismos de los espacios de Hilbert, es decir, conservan la estructura (la estructura del espacio vectorial, el producto interno y, por lo tanto, la topología ) del espacio sobre el que actúan. El grupo de todos los operadores unitarios desde un espacio de Hilbert dado $H$ hasta sí mismo se denomina a veces grupo de Hilbert de $H$ , denotado $Hilb(H)$ o $U (H)$ .

Ejemplos

La función identidad es trivialmente un operador unitario.
Las rotaciones en $R 2$ son el ejemplo no trivial más simple de operadores unitarios. Las rotaciones no cambian la longitud de un vector ni el ángulo entre dos vectores. Este ejemplo se puede ampliar a $R 3$ .
En el espacio vectorial $C$ de números complejos , la multiplicación por un número de valor absoluto $1$ , es decir, un número de la forma $e iθ$ para $θ \in R$ , es un operador unitario. $θ$ se denomina fase, y esta multiplicación se denomina multiplicación por una fase. Nótese que el valor de $θ$ módulo $2 π$ no afecta el resultado de la multiplicación, por lo que los operadores unitarios independientes en $C$ están parametrizados por un círculo. El grupo correspondiente, que, como conjunto, es el círculo, se llama $U(1)$ .
En términos más generales, las matrices unitarias son precisamente los operadores unitarios en espacios de Hilbert de dimensión finita , por lo que la noción de operador unitario es una generalización de la noción de matriz unitaria. Las matrices ortogonales son el caso especial de matrices unitarias en las que todas las entradas son reales. ^[4] Son los operadores unitarios en $R n$ .
El desplazamiento bilateral en el espacio de secuencias $ℓ 2$ indexado por los enteros es unitario. En general, cualquier operador en un espacio de Hilbert que actúe permutando una base ortonormal es unitario. En el caso de dimensión finita, dichos operadores son las matrices de permutación .
El desplazamiento unilateral (desplazamiento a la derecha) es una isometría; su conjugado (desplazamiento a la izquierda) es una coisometría.
El operador de Fourier es un operador unitario, es decir, el operador que realiza la transformada de Fourier (con la normalización adecuada). Esto se desprende del teorema de Parseval .
Los operadores unitarios se utilizan en representaciones unitarias .
Las puertas lógicas cuánticas son operadores unitarios. No todas las puertas son hermíticas .
Un elemento unitario es una generalización de un operador unitario. En un álgebra unitaria , un elemento $U$ del álgebra se denomina elemento unitario si $U * U = UU * = I$ , donde $I es el$ elemento identidad multiplicativo . ^[5]

Linealidad

El requisito de linealidad en la definición de un operador unitario se puede descartar sin cambiar el significado porque se puede derivar de la linealidad y la definición positiva del producto escalar :

{\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\[5pt]&=0\end{aligned}}

De manera análoga obtenemos

\|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.

Propiedades

El espectro de un operador unitario $U$ se encuentra en el círculo unitario . Es decir, para cualquier número complejo $λ$ en el espectro, se tiene $| λ | = 1.$ Esto puede verse como una consecuencia del teorema espectral para operadores normales . Por el teorema, $U$ es unitariamente equivalente a la multiplicación por una $f$ medible mediante Borel en $L$ $2$ $($ $μ$ $)$ , para algún espacio de medida finito $($ $X$ $,$ $μ$ $)$ . Ahora $UU$ $* =$ $I$ implica $|$ $f$ $($ $x$ $)|$ $2$ $= 1$ , $μ$ -ae Esto muestra que el rango esencial de $f$ , por lo tanto el espectro de $U$ , se encuentra en el círculo unitario.
Una función lineal es unitaria si es sobreyectiva e isométrica. (Use la identidad de polarización para mostrar la parte "solo si").

Véase también

Antiunitario – Aplicación antilineal biyectiva entre dos espacios de Hilbert complejos
Arco arrugado
Puerta lógica cuántica : circuito básico en computación cuántica
Matriz unitaria – Matriz compleja cuya transpuesta conjugada es igual a su inversa
Transformación unitaria – Endomorfismo que preserva el producto interno

Notas al pie

^ Halmos 1982, secc. 127, página 69
^ Conway 1990, Proposición I.5.2
^ Conway 1990, Definición I.5.1
^ Romano 2008, pág. 238 §10
^ Doran y Belfi 1986, pág. 55

Referencias

Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 96. Springer Verlag . ISBN. 0-387-97245-5.

Doran, Robert S. ; Belfi, Victor A. (1986). Caracterizaciones de las C*-álgebras: los teoremas de Gelfand-Naimark . Nueva York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7569-4.

Halmos, Paul (1982). Un libro de problemas del espacio de Hilbert . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 19 (2.ª ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.

Lang, Serge (1972). Variedades diferenciales . Reading, Mass.–Londres–Don Mills, Ontario: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.

Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5