Onda triangular

Forma de onda no sinusoidal

Muestra de sonido de onda triangular.

5 segundos de onda triangular a 220 Hz

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Muestra de sonido de onda triangular aditiva

Después de cada segundo, se agrega un armónico a una onda sinusoidal creando una onda triangular de 220 Hz.

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Una onda triangular u onda triangular es una forma de onda no sinusoidal llamada así por su forma triangular . Es una función real periódica , lineal por tramos y continua .

Al igual que una onda cuadrada , la onda triangular contiene sólo armónicos impares . Sin embargo, los armónicos más altos desaparecen mucho más rápido que en una onda cuadrada (proporcional al cuadrado inverso del número armónico en lugar de solo a la inversa).

Definiciones

Formas de onda sinusoidales , cuadradas , triangulares y en dientes de sierra

Definición

Una onda triangular de período p que abarca el rango [0, 1] se define como

$${\displaystyle x(t)=2\left|{\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right|,}$$

función del sueloonda en diente de sierra ${\displaystyle \lfloor \ \rfloor }$

Para una onda triangular que abarca el rango [−1, 1] la expresión se convierte en

$${\displaystyle x(t)=2\left|2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)\right|-1.}$$

Onda triangular con amplitud = 5, período = 4

Una ecuación más general para una onda triangular con amplitud y período usando la operación de módulo y valor absoluto es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle y(x)={\frac {4a}{p}}\left|\left(\left(x-{\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}\right|-a.}$$

Por ejemplo, para una onda triangular con amplitud 5 y período 4:

$${\displaystyle y(x)=5\left|{\bigl (}(x-1){\bmod {4}}{\bigr )}-2\right|-5.}$$

Se puede obtener un cambio de fase alterando el valor del término, y el desplazamiento vertical se puede ajustar alterando el valor del término. ${\displaystyle -p/4}$ ${\displaystyle -a}$

Como esto solo usa la operación de módulo y el valor absoluto, se puede usar para implementar simplemente una onda triangular en la electrónica del hardware.

Tenga en cuenta que en muchos lenguajes de programación, el %operador es un operador de resto (con el resultado del mismo signo que el dividendo), no un operador de módulo ; la operación de módulo se puede obtener usando ((x % p) + p) % pen lugar de x % p. Por ejemplo, en JavaScript, esto da como resultado una ecuación de la forma 4*a/p * Math.abs((((x - p/4) % p) + p) % p - p/2) - a.

Relación con la onda cuadrada

La onda triangular también se puede expresar como la integral de la onda cuadrada :

$${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {u}{p}}\right)\,du.}$$

Expresión en funciones trigonométricas.

Una onda triangular con período p y amplitud a se puede expresar en términos de seno y arcoseno (cuyo valor oscila entre − π /2 y π /2):

$${\displaystyle y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$

cosenoarcocoseno ${\textstyle \cos {x}=\sin \left({\frac {p}{4}}-x\right)}$

$${\displaystyle y(x)=a-{\frac {2a}{\pi }}\arccos \left(\cos \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$

Expresado como funciones lineales alternas.

Otra definición de onda triangular, con rango de −1 a 1 y período p , es

$${\displaystyle x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }.}$$

Armónicos

Animación de la síntesis aditiva de una onda triangular con un número creciente de armónicos. Consulte Análisis de Fourier para obtener una descripción matemática.

Es posible aproximar una onda triangular con síntesis aditiva sumando los armónicos impares de la fundamental mientras se multiplica cada dos armónicos impares por −1 (o, equivalentemente, cambiando su fase por π ) y multiplicando la amplitud de los armónicos por uno sobre el cuadrado. de su número de modo, n (que equivale a uno sobre el cuadrado de su frecuencia relativa a la fundamental ).

Lo anterior se puede resumir matemáticamente de la siguiente manera:

$${\displaystyle x_{\text{triangle}}(t)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N-1}(-1)^{i}n^{-2}\sin(2\pi f_{0}nt),}$$

Nti ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle n=2i+1}$

Esta serie infinita de Fourier converge rápidamente a la onda triangular cuando N tiende al infinito, como se muestra en la animación.

Longitud de arco

La longitud del arco por período para una onda triangular, denotada por s , está dada en términos de la amplitud a y la longitud del período p por

$${\displaystyle s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}.}$$

Ver también

• Lista de funciones periódicas
• Onda sinusoidal
• Ola cuadrada
• onda de diente de sierra
• Onda de pulso
• Sonido
• Función triangular
• Ola
• Zigzag

Referencias

1. Kraft, Sebastián; Zölzer, Udo (5 de septiembre de 2017). "LP-BLIT: Síntesis de tren de impulsos de banda limitada de formas de onda filtradas de paso bajo". Actas de la 20.ª Conferencia Internacional sobre Efectos de Audio Digital (DAFx-17) . XX Congreso Internacional sobre Efectos de Audio Digital (DAFx-17). Edimburgo. págs. 255-259.

• Weisstein, Eric W. "Serie Fourier - Onda triangular". MundoMatemático .