En matemáticas , el enésimo número de taxi , normalmente denominado Ta( n ) o Taxicab( n ), se define como el entero más pequeño que puede expresarse como una suma de dos cubos enteros positivos de n formas distintas. [1] El número de taxi más famoso es 1729 = Ta(2) = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 , también conocido como número de Hardy-Ramanujan. [2] [3]
Recuerdo que una vez fui a verlo [Ramanujan] cuando yacía enfermo en Putney . Había viajado en el taxi número 1729 y observé que el número parecía bastante aburrido y que esperaba que no fuera un presagio desfavorable. "No", respondió, "es un número muy interesante; es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos [positivos] de dos maneras diferentes". [4] [5]
Historia y definición
Los pares de sumandos del número de Hardy-Ramanujan Ta(2) = 1729 fueron mencionados por primera vez por Bernard Frénicle de Bessy , quien publicó su observación en 1657. 1729 se hizo famoso como el primer número de taxi a principios del siglo XX por una historia que involucraba Srinivasa Ramanujan al afirmar que es el más pequeño por su ejemplo particular de dos sumandos. En 1938, GH Hardy y EM Wright demostraron que tales números existen para todos los enteros positivos n , y su prueba se convierte fácilmente en un programa para generar dichos números. Sin embargo, la prueba no afirma en absoluto si los números así generados son los más pequeños posibles y, por lo tanto, no se puede utilizar para encontrar el valor real de Ta( n ).
Los números de taxi posteriores a 1729 se encontraron con ayuda de ordenadores. John Leech obtuvo Ta(3) en 1957. E. Rosenstiel, JA Dardis y CR Rosenstiel encontraron Ta(4) en 1989. [6] JA Dardis encontró Ta(5) en 1994 y fue confirmado por David W. Wilson en 1999. [7] [8] Ta(6) fue anunciado por Uwe Hollerbach en la lista de correo de NMBRTHRY el 9 de marzo de 2008, [9] tras un artículo de 2003 de Calude et al . eso daba una probabilidad del 99% de que el número fuera en realidad Ta(6). [10] Christian Boyer encontró los límites superiores para Ta(7) a Ta(12) en 2006. [11]
La restricción de los sumandos a números positivos es necesaria, porque permitir números negativos permite más (y más pequeñas) instancias de números que pueden expresarse como sumas de cubos de n formas distintas. El concepto de número de taxi se ha introducido para permitir definiciones alternativas y menos restrictivas de esta naturaleza. En cierto sentido, la especificación de dos sumandos y potencias de tres también es restrictiva; un número de taxi generalizado permite que estos valores sean distintos de dos y tres, respectivamente.
Números de taxi conocidos
Hasta el momento se conocen los siguientes 6 números de taxi:
Límites superiores para números de taxis
Para los siguientes números de taxis se conocen los límites superiores:
Números de taxis sin cubos
Un problema de taxi más restrictivo requiere que el número del taxi no tenga cubos , lo que significa que no es divisible por ningún cubo que no sea 1 3 . Cuando un número de taxi sin cubos T se escribe como T = x 3 + y 3 , los números xey deben ser primos relativos . Entre los números de taxi Ta( n ) enumerados anteriormente, sólo Ta(1) y Ta(2) son números de taxi sin cubos. El número de taxi sin cubos más pequeño con tres representaciones fue descubierto por Paul Vojta (inédito) en 1981, cuando era estudiante de posgrado:
El número de taxi sin cubos más pequeño con cuatro representaciones fue descubierto por Stuart Gascoigne e independientemente por Duncan Moore en 2003:
^ "'Nuevos límites superiores para los números de taxis y taxis" Christian Boyer, Francia, 2006-2008
Referencias
GH Hardy y EM Wright, Introducción a la teoría de los números , 3.ª ed., Oxford University Press, Londres y Nueva York, 1954, Thm. 412.
J. Leech, Algunas soluciones de ecuaciones diofánticas , Proc. Camb. Fil. Soc. 53, 778–780, 1957.
E. Rosenstiel, JA Dardis y CR Rosenstiel, Las cuatro soluciones mínimas en enteros positivos distintos de las ecuaciones diofánticas = x 3 + y 3 = z 3 + w 3 = u 3 + v 3 = m 3 + n 3 , Bull. Inst. Matemáticas. Aplica. , 27(1991) 155-157; Señor 1125858, en línea.
David W. Wilson, El quinto número de taxi es 48988659276962496 , Journal of Integer Sequences , vol. 2 (1999), en línea. (Wilson desconocía el descubrimiento previo de Ta(5) realizado por JA Dardis en 1994 cuando escribió esto.)
DJ Bernstein, Enumeración de soluciones para Matemáticas de la Computación 70, 233 (2000), 389–394.
CS Calude, E. Calude y MJ Dinneen: ¿Cuál es el valor del taxi(6)? , Revista de Ciencias de la Computación Universal , vol. 9 (2003), pág. 1196-1203
enlaces externos
Una publicación de 2002 en la lista de correo de teoría de números de Randall L. Rathbun
Suciedad, James; Bowley, Roger. Harán, Brady (ed.). 1729: Número de taxi o número de Hardy-Ramanujan. Numéfilo.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=&\ 2\\&=1^{3}+1^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (2)= &\ 1729\\&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (3)=&\ 87539319 \\&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\\[6pt] \operatorname {Ta} (4)=&\ 6963472309248\\&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3 }+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (5)=&\ 48988659276962496\\&=38787^{3}+365757 ^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\ \&=231518^{3}+331954^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (6)=&\ 24153319581254312065344\\&=582162^{3}+28906206^{3}\\&= 3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3} +26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6fac7667d4300495888f2779e6148b5567a797)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)\leq &\ 24885189317885898975235988544\\&=2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&=2685635652^{3}+1766742096^{ 3}\\&=2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=2915734948^{3}+459531128^{3}\\& =2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=2919526806^{3}+58798362^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (8)\leq &\ 50974398750539071400590819921724352\\&=299 512063576 ^{3}+288873662876^{3}\\&=336379942682^{3}+234604829494^{3}\\&=341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=347524579016^{3}+ 208029158236^{3}\\&=367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&=370298338396^{3}+58360453256^{3}\\&=370633638081^{3}+39304147071^{ 3} \\&=370779904362^{3}+7467391974^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (9)\leq &\ 136897813798023990395783317207361432493888\\&=41632176837064^{3}+40 153439139764^{3}\\ &=46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\&=47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\& =51094952419111^{ 3}+15189477616793^{3}\\&=51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\&=51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=51530042142656^{3} +4076877805588^ {3}\\&=51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (10)\leq &\ 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=15695 330667573128^{3}+15137846555691028^{3 }\\&=17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=18211330514175448^{3}+10 901351979041108^{3}\\&= 19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=19422314536358643^{3}+205965521 8961613^{3}\\&=19426825887781312^{3} +1536982932706676^{3}\\&=19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&=19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (11)\ leq &\ 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&=1281 5060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\&=12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\ \&=13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&=13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&=14004053464077523 769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&=14107248762203982476^ {3}+2223357078845220136^{3}\\&=14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&=14123302420417013824^{3}+1117386592077753 452^{3}\\&=14125159098802697120^{3}+657258405504578668 ^{3}\\&=14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (12)\leq &\73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676 ^{3}\\&=38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\&=38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\& = 39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&=41606 042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=41912636072508031936196^{3} +6605593881249149024056^{3}\\&=41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=41960331491058948071104^{3}+3319755 565063005505892^{3}\\&=41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3 }\\&=41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{aligned}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3edcd750ffa3cdfe8cfc1cbfd691d133997960f4)
