Ciclo algebraico

En matemáticas , un ciclo algebraico sobre una variedad algebraica V es una combinación lineal formal de subvariedades de V. Estas son la parte de la topología algebraica de V a la que se puede acceder directamente mediante métodos algebraicos. Comprender los ciclos algebraicos sobre una variedad puede brindar conocimientos profundos sobre la estructura de la variedad.

El caso más trivial son los ciclos de codimensión cero, que son combinaciones lineales de los componentes irreducibles de la variedad. El primer caso no trivial es el de las subvariedades de codimensión uno, llamadas divisores . Los primeros trabajos sobre ciclos algebraicos se centraron en el caso de los divisores, en particular los divisores en curvas algebraicas. Los divisores en curvas algebraicas son combinaciones lineales formales de puntos en la curva. El trabajo clásico sobre curvas algebraicas relacionaba estos con datos intrínsecos, como las diferenciales regulares en una superficie compacta de Riemann , y con propiedades extrínsecas, como las incrustaciones de la curva en el espacio proyectivo .

Aunque los divisores en variedades de dimensión superior siguen desempeñando un papel importante en la determinación de la estructura de la variedad, en variedades de dimensión dos o más también hay que considerar ciclos de codimensión superior. El comportamiento de estos ciclos es sorprendentemente diferente al de los divisores. Por ejemplo, cada curva tiene una constante N tal que cada divisor de grado cero es linealmente equivalente a una diferencia de dos divisores efectivos de grado N como máximo . David Mumford demostró que, en una superficie algebraica compleja completa suave S con género geométrico positivo , la afirmación análoga para el grupo de clases de equivalencia racional de ciclos de codimensión dos en S es falsa. ^[1] La hipótesis de que el género geométrico es positivo significa esencialmente (por el teorema de Lefschetz sobre (1,1)-clases ) que el grupo de cohomología contiene información trascendental y, en efecto, el teorema de Mumford implica que, a pesar de tener una definición puramente algebraica, comparte información trascendental con . Desde entonces, el teorema de Mumford se ha generalizado en gran medida. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {CH} ^{2}(S)}$ ${\displaystyle H^{2}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {CH} ^{2}(S)}$ ${\displaystyle H^{2}(S)}$

El comportamiento de los ciclos algebraicos se encuentra entre las cuestiones abiertas más importantes de las matemáticas modernas. La conjetura de Hodge , uno de los problemas del Premio del Milenio del Instituto de Matemáticas Clay , predice que la topología de una variedad algebraica compleja fuerza la existencia de ciertos ciclos algebraicos. La conjetura de Tate hace una predicción similar para la cohomología étale . Las conjeturas estándar de Alexander Grothendieck sobre ciclos algebraicos producen suficientes ciclos para construir su categoría de motivos e implicarían que los ciclos algebraicos juegan un papel vital en cualquier teoría de cohomología de variedades algebraicas. Por el contrario, Alexander Beilinson demostró que la existencia de una categoría de motivos implica las conjeturas estándar. Además, los ciclos están conectados con la K -teoría algebraica por la fórmula de Bloch, que expresa grupos de ciclos módulo equivalencia racional como la cohomología de haces de la K -teoría.

Definición

Sea X un esquema de tipo finito sobre un cuerpo k . Un r -ciclo algebraico sobre X es una combinación lineal formal .

${\displaystyle \sum n_{i}[V_{i}]}$

de k -subesquemas integrales cerrados r -dimensionales de X. El coeficiente n _i es la multiplicidad de V _i . El conjunto de todos los r -ciclos es el grupo abeliano libre.

${\displaystyle Z_{r}X=\bigoplus _{V\subseteq X}\mathbf {Z} \cdot [V],}$

donde la suma es sobre subesquemas integrales cerrados V de X. Los grupos de ciclos para variar r juntos forman un grupo

${\displaystyle Z_{*}X=\bigoplus _{r}Z_{r}X.}$

A esto se le llama grupo de ciclos algebraicos y a cualquier elemento se le llama ciclo algebraico . Un ciclo es efectivo o positivo si todos sus coeficientes son no negativos.

Los subesquemas integrales cerrados de X están en correspondencia biunívoca con los puntos esquema-teóricos de X bajo la función que, en una dirección, lleva cada subesquema a su punto genérico, y en la otra dirección, lleva cada punto al único subesquema reducido apoyado en el cierre del punto. En consecuencia, también puede describirse como el grupo abeliano libre sobre los puntos de X. ${\displaystyle Z_{*}X}$

Un ciclo es racionalmente equivalente a cero , escrito , si hay un número finito de subvariedades -dimensionales de y funciones racionales no nulas tales que , donde denota el divisor de una función racional en W _i . Los ciclos racionalmente equivalentes a cero son un subgrupo , y el grupo de r -ciclos módulo equivalencia racional es el cociente ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \sim 0}$ ${\displaystyle (r+1)}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{i}\in k(W_{i})^{\times }}$ ${\displaystyle \alpha =\sum [\operatorname {div} _{W_{i}}(r_{i})]}$ ${\displaystyle \operatorname {div} _{W_{i}}}$ ${\displaystyle Z_{r}(X)_{\text{rat}}\subseteq Z_{r}(X)}$

${\displaystyle A_{r}(X)=Z_{r}(X)/Z_{r}(X)_{\text{rat}}.}$

Este grupo también se denota como . Elementos del grupo ${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X)}$

${\displaystyle A_{*}(X)=\bigoplus _{r}A_{r}(X)}$

se denominan clases de ciclo en X. Se dice que las clases de ciclo son efectivas o positivas si pueden representarse mediante un ciclo efectivo.

Si X es suave, proyectivo y de dimensión pura N , los grupos anteriores a veces se reindexan cohomológicamente como

${\displaystyle Z^{N-r}X=Z_{r}X}$

y

${\displaystyle A^{N-r}X=A_{r}X.}$

En este caso, se llama anillo de Chow de X porque tiene una operación de multiplicación dada por el producto de intersección . ${\displaystyle A^{*}X}$

Existen varias variantes de la definición anterior. Podemos sustituir otro anillo por enteros como nuestro anillo de coeficientes. El caso de coeficientes racionales es ampliamente utilizado. Trabajar con familias de ciclos sobre una base, o usar ciclos en situaciones aritméticas, requiere una configuración relativa. Sea , donde S es un esquema noetheriano regular. Un r -ciclo es una suma formal de subesquemas integrales cerrados de X cuya dimensión relativa es r ; aquí la dimensión relativa de es el grado de trascendencia de sobre menos la codimensión de en S . ${\displaystyle \phi \colon X\to S}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle k(Y)}$ ${\displaystyle k({\overline {\phi (Y)}})}$ ${\displaystyle {\overline {\phi (Y)}}}$

La equivalencia racional también puede ser reemplazada por varias otras relaciones de equivalencia más burdas en ciclos algebraicos . Otras relaciones de equivalencia de interés incluyen la equivalencia algebraica , la equivalencia homológica para una teoría de cohomología fija (como la cohomología singular o la cohomología étale), la equivalencia numérica , así como todas las torsión módulo anteriores. Estas relaciones de equivalencia tienen aplicaciones (parcialmente conjeturales) a la teoría de motivos .

Retroceso plano y empuje hacia adelante adecuado

Existe una funtorialidad covariante y contravariante del grupo de ciclos algebraicos. Sea f  : X → X' una función de variedades.

Si f es plana de alguna dimensión relativa constante (es decir, todas las fibras tienen la misma dimensión), podemos definir para cualquier subvariedad Y'  ⊂  X' :

${\displaystyle f^{*}([Y'])=[f^{-1}(Y')]\,\!}$

que por supuesto tiene la misma codimensión que Y′ .

Por el contrario, si f es propia , para Y una subvariedad de X el empuje hacia adelante se define como

${\displaystyle f_{*}([Y])=n[f(Y)]\,\!}$

donde n es el grado de la extensión de los campos de funciones [ k ( Y ) : k ( f ( Y ))] si la restricción de f a Y es finita y 0 en caso contrario.

Por linealidad, estas definiciones se extienden a los homomorfismos de grupos abelianos.

${\displaystyle f^{*}\colon Z^{k}(X')\to Z^{k}(X)\quad {\text{and}}\quad f_{*}\colon Z_{k}(X)\to Z_{k}(X')\,\!}$

(estos últimos en virtud de la convención) son homomorfismos de grupos abelianos. Véase el anillo de Chow para una discusión de la funtorialidad relacionada con la estructura del anillo.

Véase también

• divisor (geometría algebraica)
• Ciclo relativo

Referencias

1. Mumford, David, Equivalencia racional de ciclos 0 en superficies , J. Math. Kyoto Univ. 9 -2 (1969) 195–204.
2. Voisin, Claire, Anillos de Chow, descomposición de la diagonal y la topología de familias , Anales de estudios matemáticos 187, febrero de 2014, ISBN  9780691160504 .

• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Tercera serie. Una serie de estudios modernos en matemáticas, vol. 2, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, Sr.  1644323
• Gordon, B. Brent; Lewis, James D.; Müller-Stach, Stefan; Saito, Shuji; Yui, Noriko, eds. (2000), La aritmética y la geometría de los ciclos algebraicos: actas de la escuela de verano CRM, 7 al 19 de junio de 1998, Banff, Alberta, Canadá , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1954-8