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Pirámide (geometría)

En geometría , una pirámide (del griego antiguo πυραμίς ( puramís ) ) [1] [2] es un poliedro formado al conectar una base poligonal y un punto, llamado vértice . Cada arista de la base y cada vértice forman un triángulo, llamado cara lateral . Es un sólido cónico con base poligonal. Se pueden encontrar muchos tipos de pirámides determinando la forma de las bases o cortando el vértice. Se puede generalizar a una dimensión superior, conocida como hiperpirámide . Todas las pirámides son autoduales .

Definición

Partes de una pirámide

Una pirámide es un poliedro que se puede formar conectando una base poligonal y un punto, llamado vértice . Cada arista de la base y cada vértice forman un triángulo isósceles, llamado cara lateral . [3] Los bordes conectados desde los vértices de la base poligonal hasta el vértice se denominan bordes laterales . [4] Históricamente, la definición de pirámide ha sido descrita por muchos matemáticos en la antigüedad. Euclides en sus Elementos definió una pirámide como una figura sólida, construida desde un plano hasta un punto. El contexto de su definición era vago hasta que Garza de Alejandría la definió como la figura juntando la punta con una base poligonal. [5]

Un prismatoide se define como un poliedro donde sus vértices se encuentran en dos planos paralelos, siendo sus caras laterales triángulos, trapecios y paralelogramos . [6] Las pirámides se clasifican como prismatoides. [7]

Clasificación y tipos

La familia de una pirámide de base poligonal regular: tetraedro, pirámide cuadrada, pirámide pentagonal y pirámide hexagonal.

Una pirámide recta es una pirámide donde la base está circunscrita al círculo y la altura de la pirámide se encuentra en el centro del círculo. [8] Esta pirámide puede clasificarse según la regularidad de sus bases. Una pirámide que tiene como base un polígono regular se llama pirámide regular . [9] Para la pirámide con una base regular de n lados , tiene n + 1 vértices, n + 1 caras y 2 n aristas. [10] Dicha pirámide tiene triángulos isósceles como caras, con su simetría es C n v , una simetría de orden 2 n : las pirámides son simétricas ya que giran alrededor de su eje de simetría (una línea que pasa por el vértice y el centroide de la base). ), y son simétricas especulares con respecto a cualquier plano perpendicular que pase por una bisectriz de la base. [11] [12] Algunos ejemplos son la pirámide cuadrada y la pirámide pentagonal , una pirámide de cuatro y cinco caras triangulares con una base cuadrada y pentágono, respectivamente; se clasifican como el primer y segundo sólido de Johnson si sus caras y aristas regulares tienen la misma longitud y sus simetrías son C 4v de orden 8 y C 5v de orden 10, respectivamente. Un tetraedro o pirámide triangular es un ejemplo que tiene cuatro triángulos equiláteros, con todas las aristas de igual longitud, y uno de ellos considerado como base. Debido a que las caras son regulares , es un ejemplo de sólido platónico y deltaedro , y tiene simetría tetraédrica . [13] [14] Una pirámide con la base como círculo se conoce como cono . [15] Las pirámides tienen la propiedad de ser autoduales , lo que significa que sus duales son iguales a los vértices correspondientes a las aristas y viceversa. [16] Su esqueleto puede representarse como el gráfico de la rueda . [17]

Pirámides con bases rectangulares y rómbicas

Una pirámide recta también puede tener una base con un polígono irregular. Ejemplos de ello son las pirámides con rectángulo y rombo como base. Estas dos pirámides tienen la simetría de C 2v de orden 4.

El tipo de pirámides se puede derivar de muchas formas. La regularidad de la base de una pirámide se puede clasificar según el tipo de polígono, y un ejemplo es la pirámide con un polígono de estrella regular como base, conocida comopirámide estelar . [18] La pirámide cortada por un plano se llamapirámide truncada ; si el plano de truncamiento es paralelo a la base de una pirámide, se llama frustum .

Medición

El área de superficie es el área total de las caras de cada poliedro. En el caso de una pirámide, su área superficial es la suma del área de los triángulos y el área de la base poligonal.

El volumen de una pirámide es el producto de un tercio del área de la base por la altura. Dado que es el área de la base y la altura de una pirámide. Matemáticamente, el volumen de una pirámide es: [19]

tronco cuadrado[20]AryabhataAryabhatiya[21]

Generalización

Hiperpirámide de 4 dimensiones con un cubo como base.

La hiperpirámide es la generalización de una pirámide en un espacio de n dimensiones. En el caso de la pirámide, se conectan todos los vértices de la base, un polígono en un plano, con un punto fuera del plano, que es la cima . La altura de la pirámide es la distancia del pico al plano. Esta construcción se generaliza a n dimensiones. La base se convierte en un ( n − 1 ) - politopo en un ( n − 1 ) - hiperplano dimensional. Un punto llamado vértice se encuentra fuera del hiperplano y se conecta a todos los vértices del politopo y la distancia del vértice al hiperplano se llama altura. [22]

El volumen de n dimensiones de una hiperpirámide de n dimensiones se puede calcular de la siguiente manera:

V nn -Adimensional ( n  − 1)lahiperplano dimensional ( n  − 1)A. [22]

Referencias

  1. ^ "Henry George Liddell, Robert Scott, Un léxico griego-inglés, πυραμίς", www.perseus.tufts.edu.
  2. ^ La palabra significa "una especie de torta de granos de trigo tostados conservados en miel"; Las pirámides egipcias recibieron su nombre por su forma. Véase Beekes, Robert S. (2009), Diccionario etimológico del griego , Brill, p. 1261.
  3. ^ Cromwell, Peter R. (1997), Poliedros, Cambridge University Press, pág. 13.
  4. ^ Smith, James T. (2000), Métodos de geometría, John Wiley & Sons, pág. 98, ISBN 0-471-25183-6.
  5. ^ Heath, Thomas (1908), Euclides: Los trece libros de los elementos, vol. 3, Cambridge University Press, pág. 268.
  6. ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2015), Una odisea matemática en el espacio: geometría sólida en el siglo XXI, Asociación Matemática de América , pág. 85.
  7. ^ Grünbaum, Branko (1997), "Prismatoides isogonales", Geometría computacional y discreta , 18 : 13–52, doi :10.1007/PL00009307.
  8. ^ Polya, G. (1954), Matemáticas y razonamiento plausible: inducción y analogía en matemáticas, Princeton University Press, p. 138.
  9. ^ O'Leary, Michael (2010), Revoluciones de la geometría, John Wiley & Sons, p. 10.
  10. ^ Humble, Steve (2016), AZ de matemáticas del experimentador: actividades matemáticas con soporte informático, Taylor & Francis, p. 23.
  11. ^ Johnson, Norman W. (2018), Geometrías y transformaciones , ISBN 978-1-107-10340-5. Consulte el Capítulo 11: Grupos de simetría finitos, 11.3 Pirámides, prismas y antiprismas.
  12. ^ Alexandroff, Paul (2012), Introducción a la teoría de grupos, Publicaciones de Dover, p. 48, ISBN 978-0-486-48813-4.
  13. ^ Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114, Zbl  0132.14603. Ver cuadro III, línea 1.
  14. ^ Uehara, Ryuhei (2020), Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional, Springer, p. 62, doi :10.1007/978-981-15-4470-5, ISBN 978-981-15-4470-5.
  15. ^ Kelley, W. Michael (2009), El enorme libro de los problemas de geometría, Penguin Group, pág. 455.
  16. ^ Wohlleben, Eva (2019), "Dualidad en cuerpos no poliédricos Parte I: Polyliner", en Cocchiarella, Luigi (ed.), ICGG 2018 - Actas de la 18.ª Conferencia Internacional sobre Geometría y Gráficos: 40.º aniversario - Milán, Italia , 3 al 7 de agosto de 2018, Springer, pág. 485–486, doi :10.1007/978-3-319-95588-9, ISBN 978-3-319-95588-9
  17. ^ Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013), Configuración desde un punto de vista gráfico, Springer, p. 21, doi :10.1007/978-0-8176-8364-1, ISBN 978-0-8176-8363-4.
  18. ^ Wenninger, Magnus J. (1974), Modelos de poliedros, Cambridge University Press, pág. 50, ISBN 978-0-521-09859-5, archivado desde el original el 11 de diciembre de 2013.
  19. ^ Alejandro, Daniel C.; Koeberlin, Geralyn M. (2014), Geometría elemental para estudiantes universitarios (6.ª ed.), Cengage Learning, p. 403, ISBN 978-1-285-19569-8.
  20. ^ Gillings, RJ (1964), "El volumen de una pirámide truncada en papiros del antiguo Egipto", The Mathematics Teacher , 57 (8): 552–555, JSTOR  27957144.
  21. ^ Cajori, Florian (1991), Historia de las Matemáticas (5ª ed.), Sociedad Matemática Estadounidense, p. 87, ISBN 978-1-4704-7059-3.
  22. ^ ab Mathai, AM (1999), Introducción a la probabilidad geométrica: aspectos distributivos con aplicaciones, Taylor y Francis, p. 42–43.

Ver también

enlaces externos

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