GF(2) (también denominado Z / 2 Z o ) es el campo finito con dos elementos [1] (GF es el inicialismo del campo de Galois , otro nombre para campos finitos). Se pueden encontrar notaciones Z 2 y aunque pueden confundirse con la notación de2 enteros ádicos .
GF(2) es el campo con el menor número posible de elementos y es único si la identidad aditiva y la identidad multiplicativa se denotan respectivamente0 y1 , como siempre.
Los elementos de GF(2) pueden identificarse con los dos valores posibles de un bit y con los valores booleanos verdadero y falso . De ello se deduce que GF(2) es fundamental y ubicuo en la informática y sus fundamentos lógicos .
GF(2) es el campo único con dos elementos con sus identidades aditivas y multiplicativas respectivamente denotadas0 y1 .
Su suma se define como la suma habitual de números enteros pero módulo 2 y corresponde a la siguiente tabla:
Si los elementos de GF(2) se consideran valores booleanos, entonces la suma es la misma que la de la operación XOR lógica . Dado que cada elemento es igual a su opuesto , la resta es la misma operación que la suma.
La multiplicación de GF(2) es nuevamente la multiplicación habitual módulo 2 (ver la tabla a continuación), y en variables booleanas corresponde a la operación lógica AND .
GF(2) se puede identificar con el campo del módulo de números enteros2 , es decir, el anillo cociente del anillo de los enteros Z por el2 Z ideal de todos los números pares : GF(2) = Z /2 Z .
Debido a que GF(2) es un cuerpo, se conservan muchas de las propiedades familiares de los sistemas numéricos, como los números racionales y los números reales :
Las propiedades que no son familiares en los números reales incluyen:
Debido a las propiedades algebraicas anteriores, muchas herramientas matemáticas familiares y poderosas funcionan en GF(2) tan bien como en otros campos. Por ejemplo, las operaciones matriciales, incluida la inversión de matrices , se pueden aplicar a matrices con elementos en GF(2) ( ver anillo de matriz ).
Cualquier grupo ( V,+ ) con la propiedad v + v = 0 para cada v en V es necesariamente abeliano y puede convertirse en un espacio vectorial sobre GF(2) de forma natural, definiendo 0 v = 0 y 1 v. = v para todo v en V . Este espacio vectorial tendrá una base , lo que implica que el número de elementos de V debe ser una potencia de 2 (o infinito).
En las computadoras modernas , los datos se representan con cadenas de bits de longitud fija, llamadas palabras de máquina . Estos están dotados de la estructura de un espacio vectorial sobre GF(2). La suma de este espacio vectorial es la operación bit a bit llamada XOR (o exclusivo). El AND bit a bit es otra operación sobre este espacio vectorial, lo que lo convierte en un álgebra booleana , una estructura que subyace a toda la informática . Estos espacios también se pueden aumentar con una operación de multiplicación que los convierta en un campo GF(2 n ), pero la operación de multiplicación no puede ser una operación bit a bit. Cuando n es en sí mismo una potencia de dos, la operación de multiplicación puede ser nim-multiplicación ; alternativamente, para cualquier n , se puede usar la multiplicación de polinomios sobre GF(2) módulo un polinomio irreducible (como por ejemplo para el campo GF(2 8 ) en la descripción del cifrado del Estándar de cifrado avanzado ).
Los espacios vectoriales y los anillos polinomiales sobre GF(2) se utilizan ampliamente en la teoría de la codificación y, en particular, en los códigos de corrección de errores y la criptografía moderna . Por ejemplo, muchos códigos de corrección de errores comunes (como los códigos BCH ) son códigos lineales sobre GF(2) (códigos definidos a partir de espacios vectoriales sobre GF(2)), o códigos polinomiales (códigos definidos como cocientes de anillos polinomiales sobre GF(2) )).
Como cualquier campo, GF(2) tiene una clausura algebraica . Este es un campo F que contiene GF(2) como subcampo , que es algebraico sobre GF(2) (es decir, cada elemento de F es una raíz de un polinomio con coeficientes en GF(2)), y que es algebraicamente cerrado ( cualquier polinomio no constante con coeficientes en F tiene una raíz en F ). El campo F está determinado únicamente por estas propiedades, hasta un automorfismo de campo (es decir, esencialmente hasta la notación de sus elementos).
F es contable y contiene una única copia de cada uno de los campos finitos GF(2 n ); la copia de GF(2 n ) está contenida en la copia de GF(2 m ) si y sólo si n divide a m. El campo F es contable y es la unión de todos estos campos finitos.
Conway se dio cuenta de que F puede identificarse con el número ordinal , donde las operaciones de suma y multiplicación se definen de manera natural mediante inducción transfinita (sin embargo, estas operaciones son diferentes de la suma y multiplicación estándar de números ordinales). [2] La suma en este campo es simple de realizar y es similar a la suma de Nim ; Lenstra ha demostrado que la multiplicación también se puede realizar de forma eficiente. [3]
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )