función lagunar

Coloración de dominio de la suma parcial 128 de la función lagunar . ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$

En análisis , una función lacunaria , también conocida como serie lacunaria , es una función analítica que no puede continuar analíticamente en ningún lugar fuera del radio de convergencia dentro del cual está definida por una serie de potencias . La palabra lagunar se deriva de laguna ( pl. lagunae), que significa brecha o vacante.

Los primeros ejemplos conocidos de funciones lagunares involucraron series de Taylor con grandes espacios o lagunas entre los coeficientes distintos de cero de sus expansiones. Investigaciones más recientes también han centrado su atención en series de Fourier con brechas similares entre coeficientes distintos de cero. Existe una ligera ambigüedad en el uso moderno del término serie lacunaria , que puede referirse a series de Taylor o series de Fourier.

Un ejemplo sencillo

Elija un número entero . Considere la siguiente función definida por una serie de potencias simple: ${\displaystyle a\geq 2}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{a^{n}}=z+z^{a}+z^{a^{2}}+z^{a^{3}}+z^{a^{4}}+\cdots \,}$

La serie de potencias converge localmente uniforme en cualquier dominio abierto | z | < 1. Esto se puede demostrar comparando f con la serie geométrica , que es absolutamente convergente cuando | z | < 1. Entonces f es analítico en el disco de la unidad abierta. Sin embargo, f tiene una singularidad en cada punto del círculo unitario y no puede continuar analíticamente fuera del disco unitario abierto, como lo demuestra el siguiente argumento.

Claramente f tiene una singularidad en z = 1, porque

${\displaystyle f(1)=1+1+1+\cdots \,}$

es una serie divergente. Pero si se permite que z sea irreal, surgen problemas, ya que

${\displaystyle f\left(z^{a}\right)=f(z)-z\qquad f\left(z^{a^{2}}\right)=f(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)=f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)=f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}}$

podemos ver que f tiene una singularidad en un punto z cuando z ^a = 1, y también cuando z ^{a 2} = 1. Por la inducción sugerida por las ecuaciones anteriores, f debe tener una singularidad en cada una de las raíces an ^-ésimas de la unidad para todos los números naturales n. El conjunto de todos esos puntos es denso en el círculo unitario, por lo tanto, por extensión continua, cada punto del círculo unitario debe ser una singularidad de f. ^[1]

Un resultado elemental

Evidentemente, el argumento presentado en el ejemplo simple muestra que se pueden construir ciertas series para definir funciones lagunares. Lo que no es tan evidente es que las brechas entre las potencias de z pueden expandirse mucho más lentamente, y la serie resultante seguirá definiendo una función lagunar. Para hacer más precisa esta noción se necesita alguna notación adicional.

Nosotros escribimos

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}z^{\lambda _{k}}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}z^{n}\,}$

donde b _n = a _k cuando n = λ _k y b _n  = 0 en caso contrario. Los tramos donde los coeficientes b _n en la segunda serie son todos cero son las lagunas en los coeficientes. La secuencia monótonamente creciente de números naturales positivos {λ _k } especifica las potencias de z que están en la serie de potencias para f ( z ).

Ahora se puede enunciar un teorema de Hadamard . ^[2] Si

${\displaystyle {\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{k-1}}}>1+\delta \,}$

para todo k , donde δ > 0 es una constante positiva arbitraria, entonces f ( z ) es una función lacunaria que no puede continuar fuera de su círculo de convergencia. En otras palabras, la secuencia {λ _k } no tiene que crecer tan rápido como 2 ^k para que f ( z ) sea una función lagunar; simplemente tiene que crecer tan rápido como alguna progresión geométrica (1 + δ) ^k . Se dice que una serie para la cual λ _k crece tan rápidamente contiene espacios de Hadamard . Véase el teorema de la brecha de Ostrowski-Hadamard .

Serie trigonométrica lacunaria

Los matemáticos también han investigado las propiedades de las series trigonométricas lagunares.

${\displaystyle S((\lambda _{k})_{k},\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k},\theta ,\omega )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta +\omega )\,}$

para lo cual los λ _k están muy separados. Aquí los coeficientes ak _son números reales. En este contexto, la atención se ha centrado en criterios suficientes para garantizar la convergencia de la serie trigonométrica en casi todas partes (es decir, para casi todos los valores del ángulo θ y del factor de distorsión ω ).

• Kolmogorov demostró que si la secuencia { λ _k } contiene espacios de Hadamard, entonces la serie S ( λ _k ,  θ ,  ω ) converge (diverge) casi en todas partes cuando

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}}$

converge (diverge).

• Zygmund demostró bajo la misma condición que S ( λ _k ,  θ ,  ω ) no es una serie de Fourier que representa una función integrable cuando esta suma de cuadrados de a _k es una serie divergente. ^[3]

Una visión unificada

Se puede obtener una mayor comprensión de la pregunta subyacente que motiva la investigación de las series de potencias lagunares y las series trigonométricas lagunares reexaminando el sencillo ejemplo anterior. En ese ejemplo usamos la serie geométrica.

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\,}$

y la prueba M de Weierstrass para demostrar que el ejemplo simple define una función analítica en el disco unitario abierto.

La serie geométrica en sí misma define una función analítica que converge en todas partes del disco unitario cerrado excepto cuando z = 1, donde g ( z ) tiene un polo simple. ^[4] Y, dado que z  =  e ^iθ para puntos en el círculo unitario, la serie geométrica se convierte en

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)\,}$

en un z particular , | z | = 1. Desde esta perspectiva, entonces, los matemáticos que investigan las series lacunarias se preguntan: ¿Cuánto se debe distorsionar la serie geométrica – cortando grandes secciones e introduciendo coeficientes a _k  ≠ 1 – antes del objeto matemático resultante? ¿Se transforma de una función memorórfica suave y agradable a algo que exhibe una forma primitiva de comportamiento caótico ?

Ver también

• Continuación analítica
• Szolem Mandelbrojt
• Benoît Mandelbrot
• conjunto de mandelbrot
• Teorema de la brecha de Fabry
• Teorema de la brecha de Ostrowski-Hadamard

Notas

1. (Whittaker y Watson, 1927, p. 98) Este ejemplo aparentemente se originó en Weierstrass.
2. (Mandelbrojt y Miles, 1927)
3. (Fukuyama y Takahashi, 1999)
4. Esto se puede demostrar aplicando la prueba de Abel a la serie geométrica g ( z ). También se puede entender directamente, reconociendo que la serie geométrica es la serie de Maclaurin para g ( z ) =  z /(1− z ).

Referencias

• Katusi Fukuyama y Shigeru Takahashi, Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , vol. 127 #2 págs. 599–608 (1999), "El teorema del límite central para series lacunarias".
• Szolem Mandelbrojt y Edward Roy Cecil Miles, Folleto del Instituto Rice , vol. 14 #4 págs. 261–284 (1927), "Funciones lagunares".
• ET Whittaker y GN Watson , Un curso de análisis moderno , cuarta edición, Cambridge University Press, 1927.

enlaces externos

• Fukuyama y Takahashi, 1999 Un artículo (PDF) titulado The Central Limit Theorem for Lacunary Series , de AMS.
• Mandelbrojt y Miles, 1927 Un artículo (PDF) titulado Lacunary Functions , de la Universidad Rice.
• Artículo de MathWorld sobre funciones lacunarias