Complejo simplicial

Conjunto matemático

Un complejo 3 simple.

En matemáticas , un complejo simplicial es un conjunto compuesto de puntos , segmentos de línea , triángulos y sus contrapartes n -dimensionales (ver ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de un conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de homotopía simplicial . La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto . Para distinguir un complejo simplicial de un complejo simplicial abstracto, el primero a menudo se denomina complejo simplicial geométrico . ^{[1] : 7}

Definiciones

Un complejo simplicial es un conjunto de símplices que satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

1. Cada cara de un símplex de también está en . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

2. La intersección no vacía de dos símplices cualesquiera es una cara de ambos y . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$

Véase también la definición de un complejo simplicial abstracto , que en términos generales es un complejo simplicial sin una geometría asociada.

Un complejo simplicial k es un complejo simplicial en el que la dimensión más grande de cualquier símplex es igual a k . Por ejemplo, un complejo simplicial 2 debe contener al menos un triángulo y no debe contener ningún tetraedro ni símplice de dimensiones superiores. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Un complejo k simplicial puro u homogéneo es un complejo simplicial en el que cada símplex de dimensión menor que k es una cara de algún símplex de dimensión exactamente k . De manera informal, un complejo 1 puro "parece" estar formado por un montón de líneas, un complejo 2 "parece" estar formado por un montón de triángulos, etc. Un ejemplo de complejo no homogéneo es un triángulo con un segmento de línea unido a uno de sus vértices. Los complejos simpliciales puros pueden considerarse triangulaciones y proporcionan una definición de politopos . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {K}}}$

Una faceta es un símplex máximo, es decir, cualquier símplex en un complejo que no es una cara de ningún símplex mayor. ^[2] (Obsérvese la diferencia con una "cara" de un símplex ). Un complejo simplicial puro puede considerarse como un complejo donde todas las facetas tienen la misma dimensión. Para (complejos límite de) politopos simpliciales esto coincide con el significado de la combinatoria poliédrica.

A veces se utiliza el término cara para referirse a un símplex de un complejo, que no debe confundirse con una cara de un símplex.

En el caso de un complejo simplicial inserto en un espacio de dimensión k , las caras k se denominan a veces sus celdas . El término celda se utiliza a veces en un sentido más amplio para designar un conjunto homeomorfo a un símplex, lo que conduce a la definición de complejo de celdas .

El espacio subyacente , a veces llamado portador de un complejo simplicial, es la unión de sus símplices. Generalmente se denota por o . ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {K}}\|}$

Apoyo

Los interiores relativos de todos los símplices en forman una partición de su espacio subyacente : para cada punto , hay exactamente un símplice en que contiene en su interior relativo. Este símplice se llama soporte de x y se denota . ^{[3] : 9} ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle x\in |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (x)}$

Cierre, estrella y enlace

• 
  Dos simples y su cierre .
• 
  Un vértice y su estrella .
• 
  Un vértice y su enlace .

Sea K un complejo simplicial y sea S una colección de símplices en K.

El cierre de S (denotado ) es el subcomplejo simplicial más pequeño de K que contiene cada símplex en S . se obtiene sumando repetidamente a S cada cara de cada símplex en S . ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$

La estrella de S (denotada como ) es la unión de las estrellas de cada símplice de S . Para un único símplice s , la estrella de s es el conjunto de símplices de K que tienen como cara s . La estrella de S no es generalmente un complejo simplicial en sí misma, por lo que algunos autores definen la estrella cerrada de S (denotada como ) como el cierre de la estrella de S. ${\displaystyle \mathrm {st} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {St} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S}$

El enlace de S (denominado ) es igual a . Es la estrella cerrada de S menos las estrellas de todas las caras de S . ${\displaystyle \mathrm {Lk} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} {\big (}\mathrm {st} (S){\big )}\setminus \mathrm {st} {\big (}\mathrm {Cl} (S){\big )}}$

Topología algebraica

En topología algebraica , los complejos simpliciales son a menudo útiles para cálculos concretos. Para la definición de grupos de homología de un complejo simplicial, se puede leer directamente el complejo de cadena correspondiente , siempre que se hagan orientaciones consistentes de todos los símplices. Los requisitos de la teoría de homotopía conducen al uso de espacios más generales, los complejos CW . Los complejos infinitos son una herramienta técnica básica en topología algebraica. Véase también la discusión en Politopo de complejos simpliciales como subespacios del espacio euclidiano formados por subconjuntos, cada uno de los cuales es un símplice . Ese concepto algo más concreto se atribuye allí a Alexandrov . Cualquier complejo simplicial finito en el sentido del que se habla aquí puede ser incorporado como un politopo en ese sentido, en un gran número de dimensiones. En topología algebraica, un espacio topológico compacto que es homeomorfo a la realización geométrica de un complejo simplicial finito se denomina habitualmente poliedro (véase Spanier 1966, Maunder 1996, Hilton y Wylie 1967).

Combinatoria

Los combinatorios a menudo estudian el f -vector de un complejo d simplicial Δ, que es la secuencia entera , donde f _i es el número de caras ( i −1)-dimensionales de Δ (por convención, f ₀  = 1 a menos que Δ sea el complejo vacío). Por ejemplo, si Δ es el límite del octaedro , entonces su f -vector es (1, 6, 12, 8), y si Δ es el primer complejo simplicial representado arriba, su f -vector es (1, 18, 23, 8, 1). Una caracterización completa de los posibles f -vectores de complejos simpliciales viene dada por el teorema de Kruskal-Katona . ${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{d+1})}$

Al utilizar el f -vector de un d -complejo simple Δ como coeficientes de un polinomio (escrito en orden decreciente de exponentes), obtenemos el f-polinomio de Δ. En nuestros dos ejemplos anteriores, los f -polinomios serían y , respectivamente. ${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8}$ ${\displaystyle x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1}$

Los combinatorios suelen estar bastante interesados ​​en el vector h de un complejo simplicial Δ, que es la secuencia de coeficientes del polinomio que resulta de sustituir x  − 1 en el polinomio f de Δ. Formalmente, si escribimos F _Δ ( x ) para indicar el polinomio f de Δ, entonces el polinomio h de Δ es

${\displaystyle F_{\Delta }(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}}$

y el vector h de Δ es

${\displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},\cdots ,h_{d+1}).}$

Calculamos el vector h del límite del octaedro (nuestro primer ejemplo) de la siguiente manera:

${\displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1.}$

Por lo tanto, el h -vector del borde del octaedro es (1, 3, 3, 1). No es casualidad que este h -vector sea simétrico. De hecho, esto sucede siempre que Δ es el borde de un politopo simplicial (estas son las ecuaciones de Dehn-Sommerville ). Sin embargo, en general, el h -vector de un complejo simplicial ni siquiera es necesariamente positivo. Por ejemplo, si tomamos Δ como el 2-complejo dado por dos triángulos que se intersecan solo en un vértice común, el h -vector resultante es (1, 3, −2).

Una caracterización completa de todos los politopos simples h -vectores está dada por el célebre teorema g de Stanley , Billera y Lee.

Se puede ver que los complejos simpliciales tienen la misma estructura geométrica que el gráfico de contacto de un empaquetamiento de esferas (un gráfico donde los vértices son los centros de las esferas y los bordes existen si los elementos del empaquetamiento correspondientes se tocan entre sí) y, como tal, se pueden usar para determinar la combinatoria de los empaquetamientos de esferas , como el número de pares en contacto (1-simpleces), tripletes en contacto (2-simpleces) y cuádruples en contacto (3-simpleces) en un empaquetamiento de esferas.

Problemas computacionales

El problema de reconocimiento de complejos simpliciales es: dado un complejo simplicial finito, decidir si es homeomorfo a un objeto geométrico dado. Este problema es indecidible para cualquier variedad d -dimensional para d ≥ 5.

Véase también

• Complejo simplicial abstracto
• Subdivisión baricéntrica
• Triangulación dinámica causal
• Conjunto delta
• Gravedad cuántica de bucles
• Cadena poligonal  : complejo simplicial unidimensional
• Lema de Tucker
• Árbol simplex

Referencias

1. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3
2. De Loera, Jesús A. ; Rambau, Jörg; Santos, Francisco (2010), Triangulaciones: Estructuras para algoritmos y aplicaciones, Algorithms and Computation in Mathematics, vol. 25, Springer, p. 493, ISBN 9783642129711.
3. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3

• Spanier, Edwin H. (1966), Topología algebraica , Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Maunder, Charles RF (1996), Topología algebraica (reimpresión de la edición de 1980), Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-69131-4, Sr.  1402473
• Hilton, Peter J.; Wylie , Shaun (1967), Teoría de la homología , Nueva York: Cambridge University Press , ISBN 0-521-09422-4, Sr.  0115161

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Complejo simplicial". MathWorld .
• Norman J. Wildberger. "Simpleces y complejos simpliciales". Charla en Youtube.