Matriz normal

Matriz que conmuta con su transpuesta conjugada

En matemáticas, una matriz cuadrada compleja A es normal si conmuta con su transpuesta conjugada A ^* :

${\displaystyle A{\text{ normal}}\iff A^{*}A=AA^{*}.}$

El concepto de matrices normales se puede extender a los operadores normales en espacios normados de dimensión infinita y a los elementos normales en las C*-álgebras . Como en el caso de las matrices, la normalidad significa que la conmutatividad se conserva, en la medida de lo posible, en el entorno no conmutativo. Esto hace que los operadores normales y los elementos normales de las C*-álgebras sean más fáciles de analizar.

El teorema espectral establece que una matriz es normal si y solo si es unitariamente similar a una matriz diagonal , y por lo tanto, cualquier matriz A que satisfaga la ecuación A ^* A = AA ^* es diagonalizable . (Lo inverso no se cumple porque las matrices diagonalizables pueden tener espacios propios no ortogonales). Por lo tanto y donde es una matriz diagonal cuyos valores diagonales son en general complejos. ${\displaystyle A=UDU^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}=UD^{*}U^{*}}$ ${\displaystyle D}$

Los vectores singulares izquierdo y derecho en la descomposición en valores singulares de una matriz normal difieren solo en la fase compleja entre sí y de los vectores propios correspondientes, ya que la fase debe factorizarse de los valores propios para formar valores singulares. ${\displaystyle A=UDV^{*}}$

Casos especiales

Entre las matrices complejas, todas las matrices unitarias , hermíticas y antihermíticas son normales, y todos los valores propios son módulo unitario, real e imaginario, respectivamente. Del mismo modo, entre las matrices reales, todas las matrices ortogonales , simétricas y antisimétricas son normales, y todos los valores propios son pares complejos conjugados en el círculo unitario, real e imaginario, respectivamente. Sin embargo, no es el caso de que todas las matrices normales sean unitarias o antihermíticas, ya que sus valores propios pueden ser cualquier número complejo, en general. Por ejemplo, no es unitaria, ni hermítica ni antihermítica, porque sus valores propios son ; sin embargo, es normal porque $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle 2,(1\pm i{\sqrt {3}})/2}$ $${\displaystyle AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.}$$

Consecuencias

Proposición  —  Una matriz triangular normal es diagonal .

Prueba

Sea A cualquier matriz triangular superior normal. Dado que se utiliza la notación de subíndice, se puede escribir la expresión equivalente utilizando en su lugar el i- ésimo vector unitario ( ) para seleccionar la i -ésima fila y la i -ésima columna: La expresión es equivalente, y también lo es $${\displaystyle (A^{*}A)_{ii}=(AA^{*})_{ii},}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(A^{*}A\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(AA^{*}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}.}$$ $${\displaystyle \left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)=\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)}$$ $${\displaystyle \left\|A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2}=\left\|A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2},}$$

lo que demuestra que la i -ésima fila debe tener la misma norma que la i- ésima columna.

Considere i = 1. La primera entrada de la fila 1 y la columna 1 son iguales, y el resto de la columna 1 es cero (debido a la triangularidad). Esto implica que la primera fila debe ser cero para las entradas 2 a n . Continuando con este argumento para los pares fila-columna 2 a n, se muestra que A es diagonal. QED

El concepto de normalidad es importante porque las matrices normales son precisamente aquellas a las que se aplica el teorema espectral :

Proposición  —  Una matriz A es normal si y sólo si existe una matriz diagonal Λ y una matriz unitaria U tales que A = U Λ U ^* .

Las entradas diagonales de Λ son los valores propios de A , y las columnas de U son los vectores propios de A . Los valores propios correspondientes en Λ vienen en el mismo orden en que los vectores propios están ordenados como columnas de U .

Otra forma de enunciar el teorema espectral es decir que las matrices normales son precisamente aquellas matrices que pueden representarse mediante una matriz diagonal con respecto a una base ortonormal adecuadamente elegida de C ⁿ . Dicho de otra manera: una matriz es normal si y solo si sus espacios propios abarcan C ⁿ y son ortogonales por pares con respecto al producto interno estándar de C ⁿ .

El teorema espectral para matrices normales es un caso especial de la descomposición de Schur más general que se cumple para todas las matrices cuadradas. Sea A una matriz cuadrada. Entonces, por descomposición de Schur, es unitariamente similar a una matriz triangular superior, digamos, B . Si A es normal, también lo es B . Pero entonces B debe ser diagonal, ya que, como se señaló anteriormente, una matriz triangular superior normal es diagonal.

El teorema espectral permite la clasificación de matrices normales en términos de sus espectros, por ejemplo:

Proposición  :  Una matriz normal es unitaria si y solo si todos sus valores propios (su espectro) se encuentran en el círculo unitario del plano complejo.

Proposición  :  Una matriz normal es autoadjunta si y solo si su espectro está contenido en . En otras palabras: Una matriz normal es hermítica si y solo si todos sus valores propios son reales . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En general, la suma o el producto de dos matrices normales no necesariamente deben ser normales. Sin embargo, se cumple lo siguiente:

Proposición  —  Si A y B son normales con AB = BA , entonces tanto AB como A + B también son normales. Además, existe una matriz unitaria U tal que UAU ^* y UBU ^* son matrices diagonales. En otras palabras, A y B son diagonalizables simultáneamente .

En este caso especial, las columnas de U ^* son vectores propios de A y B y forman una base ortonormal en Cn . ^Esto se logra combinando los teoremas de que, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, las matrices conmutativas son triangularizables simultáneamente y una matriz normal es diagonalizable; el resultado agregado es que ambas cosas se pueden hacer simultáneamente.

Definiciones equivalentes

Es posible dar una lista bastante larga de definiciones equivalentes de una matriz normal. Sea A una matriz compleja n × n . Entonces, las siguientes son equivalentes:

1. A es normal.
2. A es diagonalizable por una matriz unitaria.
3. Existe un conjunto de vectores propios de A que forman una base ortonormal para C ⁿ .
4. ${\displaystyle \left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|}$para cada x .
5. La norma de Frobenius de A se puede calcular mediante los valores propios de A : . ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$
6. La parte hermítica​1/2⁠ ( A + A ^* ) yparte antihermítica ⁠1/2⁠ ( A − A ^* ) de A viaja diariamente.
7. A ^* es un polinomio (de grado ≤ n − 1 ) en A . ^[a]
8. A ^* = AU para alguna matriz unitaria U. ^[1 ]
9. U y P conmutan, donde tenemos la descomposición polar A = UP con una matriz unitaria U y alguna matriz semidefinida positiva P.
10. A conmuta con alguna matriz normal N con valores propios distintos ^{[ aclaración necesaria ]} .
11. σ _i = | λ _i | para todo 1 ≤ i ≤ n donde A tiene valores singulares σ ₁ ≥ ⋯ ≥ σ _n y tiene valores propios que están indexados con ordenamiento | λ ₁ | ≥ ⋯ ≥ | λ _n | . ^[2]

Algunas de las anteriores, pero no todas, se pueden generalizar a operadores normales en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Por ejemplo, un operador acotado que satisface (9) es solo cuasinormal .

Analogía de la matriz normal

En ocasiones resulta útil (pero a veces engañoso) pensar en las relaciones de tipos especiales de matrices normales como análogas a las relaciones del tipo correspondiente de números complejos de los que se componen sus valores propios. Esto se debe a que cualquier función de una matriz no defectuosa actúa directamente sobre cada uno de sus valores propios, y la transpuesta conjugada de su descomposición espectral es , donde es la matriz diagonal de valores propios. Del mismo modo, si dos matrices normales conmutan y, por lo tanto, son diagonalizables simultáneamente, cualquier operación entre estas matrices también actúa sobre cada par correspondiente de valores propios. ${\displaystyle VDV^{*}}$ ${\displaystyle VD^{*}V^{*}}$ ${\displaystyle D}$

• La transpuesta conjugada es análoga al conjugado complejo .
• Las matrices unitarias son análogas a los números complejos en el círculo unitario .
• Las matrices hermíticas son análogas a los números reales .
• Las matrices definidas positivas hermíticas son análogas a los números reales positivos .
• Las matrices hermíticas sesgadas son análogas a los números puramente imaginarios .
• Las matrices invertibles son análogas a los números complejos distintos de cero .
• La inversa de una matriz tiene cada valor propio invertido.
• Una matriz de escala uniforme es análoga a un número constante.
• En particular, el cero es análogo a 0, y
• La matriz identidad es análoga a 1.
• Una matriz idempotente es una proyección ortogonal con cada valor propio igual a 0 o a 1.
• Una involución normal tiene valores propios . ${\displaystyle \pm 1}$

Como caso especial, los números complejos pueden incorporarse a las matrices reales 2×2 normales mediante la función que preserva la suma y la multiplicación. Es fácil comprobar que esta incorporación respeta todas las analogías anteriores. $${\displaystyle a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}=a\,{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b\,{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,.}$$

Véase también

• Matriz hermítica
• Matriz normal de mínimos cuadrados

Notas

1. Prueba: Cuando es normal, utilice la fórmula de interpolación de Lagrange para construir un polinomio tal que , donde son los valores propios de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})}$ ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle A}$

Citas

1. Horn y Johnson (1985), pág. 109
2. Horn y Johnson (1991), pág. 157

Fuentes

• Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1991). Temas de análisis matricial . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7.