Evolvente

Curva trazada por una cuerda mientras se desenrolla de otra curva

Dos involutas (rojas) de una parábola

En matemáticas , una involuta (también conocida como evolucionante ) es un tipo particular de curva que depende de otra forma o curva. Una involuta de una curva es el lugar geométrico de un punto en un trozo de cuerda tensa cuando la cuerda se desenrolla o se enrolla alrededor de la curva. ^[1]

La evolución de una involuta es la curva original.

Está generalizado por la familia de curvas de la ruleta . Es decir, las involutas de una curva son las ruletas de la curva generada por una recta.

Las nociones de involuta y evolución de una curva fueron introducidas por Christiaan Huygens en su obra titulada Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demostraciones geométricas (1673), donde demostró que la involuta de una cicloide sigue siendo una cicloide, proporcionando así un método para construir el péndulo cicloidal , que tiene la útil propiedad de que su período es independiente de la amplitud de oscilación. ^[2]

Evoluta de una curva parametrizada

Sea una curva regular en el plano con su curvatura en ningún lugar 0 y , luego la curva con la representación paramétrica ${\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle a\in (t_{1},t_{2})}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}$

es una involuta de la curva dada.

Agregar un número arbitrario pero fijo a la integral da como resultado una involuta correspondiente a una cuerda extendida (como un ovillo de lana que tiene un trozo de hilo colgando antes de desenrollarse). Por lo tanto, la involuta se puede variar mediante una constante y/o sumando un número a la integral (ver Evolutas de una parábola semicúbica). ${\displaystyle l_{0}}$ ${\displaystyle {\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}}$ ${\displaystyle l_{0}}$ ${\displaystyle a}$

si uno consigue ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}}$

Propiedades de las involutas

Involuta: propiedades. Los ángulos representados son de 90 grados.

Para derivar las propiedades de una curva regular es ventajoso suponer que la longitud del arco es el parámetro de la curva dada, lo que lleva a las siguientes simplificaciones: y , con la curvatura y la normal unitaria. Se obtiene para la involuta: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \;|{\vec {c}}'(s)|=1\;}$ ${\displaystyle \;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\ }$y

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;}$

y la declaración:

• En este punto la involuta no es regular (porque ), ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a)}$ ${\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0}$

y de lo siguiente: ${\displaystyle \;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;}$

• La normal de la involuta en el punto es la tangente de la curva dada en el punto . ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}(s)}$
• Las involutas son curvas paralelas , por el hecho de que esa es la unidad normal en . ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(s)}$ ${\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s)}$

La familia de involutas y la familia de tangentes a la curva original conforma un sistema de coordenadas ortogonal . En consecuencia, se pueden construir volutas gráficamente. Primero, dibuja la familia de rectas tangentes. Entonces, se puede construir una involuta permaneciendo siempre ortogonal a la línea tangente que pasa por el punto.

cúspides

Esta sección se basa en. ^[3]

Generalmente hay dos tipos de cúspides en las involutas. El primer tipo está en el punto donde la involuta toca la curva misma. Esta es una cúspide de orden 3/2. El segundo tipo es en el punto donde la curva tiene un punto de inflexión. Esta es una cúspide de orden 5/2.

Esto se puede ver visualmente construyendo un mapa definido por ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)}$$

hiperboloide de una hoja ${\displaystyle (x(s),y(s))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x(s),y(s))}$

Mediante este mapa, las involutas se obtienen en un proceso de tres pasos: mapear a , luego a la superficie en , luego proyectarlas hacia abajo eliminando el eje z: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})}$$

${\displaystyle l}$

Dado que el mapeo tiene derivada distinta de cero , las cúspides de la involuta solo pueden ocurrir donde la derivada de es vertical (paralela al eje z), lo que solo puede ocurrir donde la superficie tiene un plano tangente vertical. ${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Genéricamente, la superficie tiene planos tangentes verticales sólo en dos casos: donde la superficie toca la curva y donde la curva tiene un punto de inflexión.

cúspide de orden 3/2

Para el primer tipo, se puede empezar por la involuta de un círculo, con ecuación

$${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned}}}$$

parábola semicúbica ${\displaystyle Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0}$

cúspide de orden 5/2

Tangentes y involutas de la curva cúbica . Las cúspides de orden 3/2 están en la curva cúbica, mientras que las cúspides de orden 5/2 están en el eje x (la línea tangente en el punto de inflexión). ${\displaystyle y=x^{3}}$

Para el segundo tipo, considere la curva . El arco de a tiene longitud y la tangente en tiene ángulo . Por lo tanto, la involuta que comienza a distancia tiene una fórmula paramétrica ${\displaystyle y=x^{3}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(3s^{2})}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}}$$

${\displaystyle s^{5}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}}$$

${\displaystyle x,y}$

$${\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0}$$

$${\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0}$$

Poniendo , obtenemos la evoluta pasando por el origen. Es especial porque no contiene cúspide. Por expansión serial, tiene ecuación paramétrica ${\displaystyle L=0}$

$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}}$$

${\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})}$

Ejemplos

Involutas de un círculo

Involutas de un círculo

Para un círculo con representación paramétrica , se tiene . Por lo tanto , y la longitud del camino es . ${\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}$ ${\displaystyle r(t-a)}$

Al evaluar la ecuación de la involuta dada anteriormente, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}}$

para la ecuación paramétrica de la involuta del círculo.

El término es opcional; sirve para establecer la ubicación inicial de la curva en el círculo. La figura muestra volutas para (verde), (rojo), (púrpura) y (azul claro). Las involutas parecen espirales de Arquímedes , pero en realidad no lo son. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=-0.5}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle a=0.5}$ ${\displaystyle a=1}$

La longitud del arco para y de la involuta es ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}$

${\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}$

Involutas de una parábola semicúbica (azul). Sólo la curva roja es una parábola. Observe cómo las involutas y las tangentes forman un sistema de coordenadas ortogonal. Éste es un hecho general.

Involutas de una parábola semicúbica

La ecuación paramétrica describe una parábola semicúbica . De uno se obtiene y . Extender la cadena simplifica enormemente los cálculos adicionales y se obtiene ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

Eliminando t se obtiene que esta involuta es una parábola . ${\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}$

Las otras involutas son, por tanto, curvas paralelas de una parábola, y no son parábolas, ya que son curvas de grado seis (Ver Curva paralela § Otros ejemplos ).

La involuta roja de una catenaria (azul) es una tractriz.

Involutas de una catenaria

Para la catenaria , el vector tangente es y, como su longitud es . Por tanto, la longitud del arco desde el punto (0, 1) es ${\displaystyle (t,\cosh t)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}$ ${\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}$

Por lo tanto, la involuta que comienza en (0, 1) está parametrizada por

${\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),}$

y por tanto es una tractriz .

Las otras involutas no son tractrices, ya que son curvas paralelas de una tractriz.

Involutas de una cicloide

Evolutas de una cicloide (azul): solo la curva roja es otra cicloide

La representación paramétrica describe una cicloide . De , se obtiene (después de haber utilizado algunas fórmulas trigonométricas) ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}$

${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}$

y

${\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}$

Por tanto, las ecuaciones de la involuta correspondiente son

${\displaystyle X(t)=t+\sin t,}$

${\displaystyle Y(t)=3+\cos t,}$

que describen la cicloide roja desplazada del diagrama. Por eso

• Las involutas de la cicloide son curvas paralelas de la cicloide. ${\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}$

${\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).}$

(Las curvas paralelas de una cicloide no son cicloides).

involucionar y evolucionar

La evolución de una curva dada consta de los centros de curvatura de . Entre involutas y evolutas se cumple la siguiente afirmación: ^{[4] [5]} ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{0}}$

Una curva es la evoluta de cualquiera de sus involutas.

involucionar y evolucionar

• 
  Tractrix (rojo) como involuta de una catenaria
• 
  La evolución de una tractriz es una catenaria.

Solicitud

Los perfiles más comunes de los dientes de los engranajes modernos son las evolutas de un círculo. En un sistema de engranajes de involuta, los dientes de dos engranajes engranados hacen contacto en un único punto instantáneo que sigue una única línea recta de acción. Las fuerzas que los dientes en contacto ejercen entre sí también siguen esta línea y son normales a los dientes. El sistema de engranajes de involuta que mantiene estas condiciones sigue la ley fundamental del engranaje: la relación de velocidades angulares entre los dos engranajes debe permanecer constante en todo momento.

Con dientes de otras formas, las velocidades y fuerzas relativas aumentan y disminuyen a medida que se engranan los dientes sucesivos, lo que produce vibración, ruido y desgaste excesivo. Por esta razón, casi todos los sistemas de engranajes planos modernos son de engranajes involutivos o cicloidales relacionados . ^[6]

Mecanismo de un compresor scroll.

La involuta de un círculo también es una forma importante en la compresión de gas , ya que se puede construir un compresor scroll basándose en esta forma. Los compresores scroll producen menos ruido que los compresores convencionales y han demostrado ser bastante eficientes .

El reactor de isótopos de alto flujo utiliza elementos combustibles con forma de involuta, ya que permiten un canal de ancho constante entre ellos para el refrigerante.

Ver también

• Sobre (matemáticas)
• evolucionar
• Problema de pastoreo de cabras
• engranaje involuta
• Ruleta (curva)
• Compresor scroll

Referencias

1. Rutter, JW (2000). Geometría de Curvas. Prensa CRC. págs.204. ISBN 9781584881667.
2. McCleary, John (2013). Geometría desde un punto de vista diferenciable . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.89. ISBN 9780521116077.
3. Arnold, VI (1990). Huygens y Barrow, Newton y Hooke: pioneros en el análisis matemático y la teoría de catástrofes desde los evolucionistas hasta los cuasicristales. Basilea: Birkhaüser Verlag. ISBN 0-8176-2383-3. OCLC  21873606.
4. K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ... , Springer-Verlag, 2012, ISBN 3834883468 , pág. 30. 
5. R. Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band , Springer-Verlag, 1955, pág. 267.
6. VGA Goss (2013) "Aplicación de la geometría analítica a la forma de los dientes de los engranajes", Resonancia 18 (9): 817 a 31 Springerlink (se requiere suscripción).

enlaces externos

• Involuta en MathWorld