Espacio Hilbert amañado

Construction linking the study of "bound" and continuous eigenvalues in functional analysis

En matemáticas , un espacio de Hilbert amañado ( triple de Gelfand , espacio de Hilbert anidado , espacio de Hilbert equipado ) es una construcción diseñada para vincular la distribución y los aspectos integrables al cuadrado del análisis funcional . Estos espacios se introdujeron para estudiar la teoría espectral . Reúnen el ' estado ligado ' ( vector propio ) y el ' espectro continuo ', en un solo lugar.

Utilizando esta noción, se puede formular una versión del teorema espectral para operadores ilimitados en el espacio de Hilbert. ^[1] "Los espacios de Hilbert amañados son bien conocidos como la estructura que proporciona un significado matemático adecuado a la formulación de Dirac de la mecánica cuántica ". ^[2]

Motivación

Una función como es una función propia del operador diferencial en la línea real R , pero no es integrable al cuadrado para la medida habitual ( Lebesgue ) en R . Para considerar adecuadamente esta función como una función propia se requiere alguna forma de salir de los estrictos límites de la teoría del espacio de Hilbert . Esto fue proporcionado por el aparato de distribuciones , y en los años posteriores a 1950 se desarrolló una teoría de funciones propias generalizada . $${\displaystyle x\mapsto e^{ix},}$$ $${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$$

Enfoque de análisis funcional

El concepto de espacio de Hilbert amañado sitúa esta idea en un marco analítico funcional abstracto. Formalmente, un espacio de Hilbert amañado consta de un espacio de Hilbert H , junto con un subespacio Φ que conlleva una topología más fina , es decir, aquella para la cual la inclusión natural es continua. No es una pérdida suponer que Φ es denso en H para la norma de Hilbert. Consideramos la inclusión de espacios duales H ^* en Φ ^* . Este último, dual a Φ en su topología de 'función de prueba', se realiza como un espacio de distribuciones o funciones generalizadas de algún tipo, y los funcionales lineales en el subespacio Φ de tipo para v en H se representan fielmente como distribuciones (porque supongamos Φ denso). $${\displaystyle \Phi \subseteq H}$$ $${\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle }$$

Ahora, aplicando el teorema de representación de Riesz podemos identificar H ^* con H . Por lo tanto, la definición de espacio de Hilbert amañado es en términos de sándwich: $${\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}$$

Los ejemplos más significativos son aquellos para los cuales Φ es un espacio nuclear ; este comentario es una expresión abstracta de la idea de que Φ consta de funciones de prueba y Φ* de las distribuciones correspondientes . Además, los espacios de Sobolev dan un ejemplo simple : Aquí (en el caso más simple de espacios de Sobolev en ) donde . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),}$$ ${\displaystyle s>0}$

Definición formal (Triple Gelfand)

Un espacio de Hilbert amañado es un par ( H , Φ) con H un espacio de Hilbert, Φ un subespacio denso, tal que Φ recibe una estructura de espacio vectorial topológico para la cual el mapa de inclusión i es continuo.

Identificando H con su espacio dual H ^* , el adjunto a i es el mapa $${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

El emparejamiento de dualidad entre Φ y Φ ^* es entonces compatible con el producto interno en H , en el sentido de que: siempre y cuando . En el caso de espacios de Hilbert complejos, utilizamos un producto interno hermitiano; será lineal complejo en u (convención matemática) o v (convención de física) y lineal conjugado (antilineal complejo) en la otra variable. $${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$$ ${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$ ${\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$

El triple a menudo se denomina "triple de Gelfand" (en honor al matemático Israel Gelfand ). ${\displaystyle (\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})}$

Tenga en cuenta que aunque Φ es isomorfo a Φ ^* (a través de la representación de Riesz ), si sucede que Φ es un espacio de Hilbert por derecho propio, este isomorfismo no es lo mismo que la composición de la inclusión i con su adjunto i * $${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

Referencias

1. Minlos, RA (2001) [1994], "Rigged_Hilbert_space", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
2. Krasnoholovets, Volodymyr; Colón, Frank H. (2004). Nuevas Investigaciones en Física Cuántica . Editores de ciencia nueva. pag. 79.ISBN​ 978-1-59454-001-1.

• J.-P. Antoine, Quantum Mechanics Beyond Hilbert Space (1996), que aparece en Irreversibilidad y causalidad, semigrupos y espacios de Hilbert aparejados , Arno Bohm, Heinz-Dietrich Doebner, Piotr Kielanowski, eds., Springer-Verlag, ISBN 3-540-64305-2 . (Proporciona una descripción general de la encuesta). 
• J. Dieudonné , Éléments d'analyse VII (1978). (Ver párrafos 23.8 y 23.32)
• IM Gelfand y N. Ya. Vilenkin . Funciones generalizadas, vol. 4: Algunas aplicaciones del análisis armónico. Espacios Hilbert amañados. Prensa académica, Nueva York, 1964.
• K. Maurin, Expansiones de funciones propias generalizadas y representaciones unitarias de grupos topológicos , Editorial científica polaca, Varsovia, 1968.
• R. de la Madrid, "Mecánica cuántica en lenguaje espacial Rigged Hilbert", Tesis doctoral (2001).
• R. de la Madrid, "El papel del espacio de Hilbert amañado en la Mecánica Cuántica", Eur. J. Física. 26, 287 (2005); cuanto-ph/0502053.