Flujo de Hele-Shaw

El flujo de Hele-Shaw se define como el flujo que tiene lugar entre dos placas planas paralelas separadas por un espacio estrecho que satisface ciertas condiciones, llamado así en honor a Henry Selby Hele-Shaw , quien estudió el problema en 1898. ^{[1] [2]} Varios problemas en mecánica de fluidos se puede aproximar a los flujos de Hele-Shaw y, por lo tanto, la investigación de estos flujos es de importancia. La aproximación al flujo de Hele-Shaw es específicamente importante para los microflujos. Esto se debe a las técnicas de fabricación, que crean configuraciones planas poco profundas, y a los números de Reynolds de microflujos típicamente bajos.

Las condiciones que deben cumplirse son

${\displaystyle {\frac {h}{l}}\ll 1,\qquad {\frac {Uh}{\nu }}{\frac {h}{l}}\ll 1}$

donde es el ancho del espacio entre las placas, es la escala de velocidad característica, es la escala de longitud característica en direcciones paralelas a la placa y es la viscosidad cinemática. Específicamente, no siempre es necesario que el número de Reynolds sea pequeño, sino que puede ser de orden uno o mayor siempre que satisfaga la condición. En términos del número de Reynolds basado en , la condición se convierte en ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Re=Uh/\nu }$ ${\displaystyle Re(h/l)\ll 1.}$ ${\displaystyle Re_{l}=Ul/\nu }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle Re_{l}(h/l)^{2}\ll 1.}$

La ecuación que rige los flujos de Hele-Shaw es idéntica a la del flujo potencial no viscoso y a la del flujo de fluido a través de un medio poroso ( ley de Darcy ). Permite así visualizar este tipo de flujo en dos dimensiones. ^{[3] [4] [5]}

Formulación matemática de flujos de Hele-Shaw.

Una descripción esquemática de una configuración de Hele-Shaw.

Sean , las direcciones paralelas a las placas planas, y la dirección perpendicular, siendo el espacio entre las placas (en ) y la escala de longitud característica relevante en las direcciones -. Bajo los límites mencionados anteriormente, las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes , en la primera aproximación se convierten en ^[6] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle z=0,h}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial y}}&=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}=0,\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}&=0,\\\end{aligned}}}$

¿Dónde está la viscosidad ? Estas ecuaciones son similares a las ecuaciones de la capa límite , excepto que no hay términos no lineales. En la primera aproximación, tenemos entonces, después de imponer las condiciones de contorno antideslizantes en , ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle z=0,h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p(x,y),\\v_{x}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}z(h-z),\\v_{y}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}z(h-z)\end{aligned}}}$

La ecuación para se obtiene de la ecuación de continuidad. Integrando la ecuación de continuidad a través del canal e imponiendo condiciones de contorno de no penetración en las paredes, tenemos ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \int _{0}^{h}\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\right)dz=0,}$

lo que lleva a la ecuación de Laplace :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}=0.}$

Esta ecuación se complementa con condiciones de contorno apropiadas. Por ejemplo, las condiciones de contorno de no penetración en las paredes laterales se convierten en: , donde es un vector unitario perpendicular a la pared lateral (tenga en cuenta que en las paredes laterales no se pueden imponer condiciones de contorno antideslizantes). Los límites también pueden ser regiones expuestas a presión constante, en cuyo caso es apropiada una condición de contorno de Dirichlet. De manera similar, también se pueden utilizar condiciones de contorno periódicas. También se puede observar que el componente de velocidad vertical en la primera aproximación es ${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p\cdot \mathbf {n} =0,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle v_{z}=0}$

que se sigue de la ecuación de continuidad. Si bien la magnitud de la velocidad varía en la dirección, la dirección del vector de velocidad es independiente de la dirección, es decir, los patrones de líneas de corriente en cada nivel son similares. El vector de vorticidad tiene las componentes ^[6] ${\displaystyle {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \tan ^{-1}(v_{y}/v_{x})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \omega _{x}={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}(h-2z),\quad \omega _{y}=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}(h-2z),\quad \omega _{z}=0.}$

Dado que , los patrones de líneas de corriente en el plano corresponden al flujo potencial (flujo irrotacional). A diferencia del flujo potencial , aquí la circulación alrededor de cualquier contorno cerrado (paralelo al plano), ya sea que encierre un objeto sólido o no, es cero, ${\displaystyle \omega _{z}=0}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}v_{x}dx+v_{y}dy=-{\frac {1}{2\mu }}z(h-z)\oint _{C}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy\right)=0}$

donde la última integral se establece en cero porque es una función de un solo valor y la integración se realiza sobre un contorno cerrado. ${\displaystyle p}$

Forma promediada en profundidad

En un canal de Hele-Shaw, se puede definir la versión promediada en profundidad de cualquier cantidad física, digamos por ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \langle \varphi \rangle \equiv {\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}\varphi dz.}$

Entonces el vector bidimensional de velocidad promediada en profundidad , donde satisface la ley de Darcy , ${\displaystyle \mathbf {u} \equiv \langle \mathbf {v} _{xy}\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{xy}=(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle -{\frac {12\mu }{h^{2}}}\mathbf {u} =\nabla p\quad {\text{with}}\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

Más, ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {\omega }}\rangle =0.}$

Célula de Hele-Shaw

El término celda de Hele-Shaw se usa comúnmente para casos en los que se inyecta un fluido en la geometría poco profunda desde arriba o debajo de la geometría, y cuando el fluido está limitado por otro líquido o gas. ^[7] Para tales flujos, las condiciones límite están definidas por presiones y tensiones superficiales.

Ver también

• Agregación limitada por difusión
• Teoría de la lubricación
• Ecuación de película delgada
• bolso de mano Hele-Shaw

Referencias

1. Shaw, Henry SH (1898). Investigación de la naturaleza de la resistencia superficial del agua y del movimiento de la línea de corriente en determinadas condiciones experimentales . Inst. NA OCLC  17929897.^{[ página necesaria ]}
2. Hele-Shaw, HS (1 de mayo de 1898). "El fluir del agua". Naturaleza . 58 (1489): 34–36. Código Bib :1898Natur..58...34H. doi : 10.1038/058034a0 .
3. Hermann Schlichting , Teoría de la capa límite , 7ª ed. Nueva York: McGraw-Hill, 1979. ^{[ página necesaria ]}
4. LM Milne-Thomson (1996). Hidrodinámica Teórica . Publicaciones de Dover, Inc.
5. Horace Lamb , Hidrodinámica (1934). ^{[ página necesaria ]}
6. Acheson, DJ (1991). Dinámica de fluidos elemental.
7. Saffman, PG (21 de abril de 2006). "Digitación viscosa en células de Hele-Shaw" (PDF) . Revista de mecánica de fluidos . 173 : 73–94. doi :10.1017/s0022112086001088. S2CID  17003612.