El decimotercer problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert establecidos en una célebre lista compilada en 1900 por David Hilbert . Implica demostrar si existe una solución para todas las ecuaciones de séptimo grado utilizando funciones algebraicas (variante: continua ) de dos argumentos . Se presentó por primera vez en el contexto de la nomografía y, en particular, de la "construcción nomográfica", un proceso mediante el cual una función de varias variables se construye utilizando funciones de dos variables. La variante para funciones continuas fue resuelta afirmativamente en 1957 por Vladimir Arnold cuando demostró el teorema de representación de Kolmogorov-Arnold , pero la variante para funciones algebraicas sigue sin resolver.
Utilizando los métodos iniciados por Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1683), Erland Samuel Bring (1786) y George Jerrard (1834), William Rowan Hamilton demostró en 1836 que cada ecuación de séptimo grado se puede reducir mediante radicales a la forma .
Respecto a esta ecuación, Hilbert se preguntó si su solución, x , considerada en función de las tres variables a , b y c , puede expresarse como la composición de un número finito de funciones de dos variables.
Hilbert originalmente planteó su problema para funciones algebraicas (Hilbert 1927, "...Existenz von algebraischen Funktionen...", es decir, "...existencia de funciones algebraicas..."; ver también Abhyankar 1997, Vitushkin 2004). Sin embargo, Hilbert también preguntó en una versión posterior de este problema si existe una solución en la clase de funciones continuas .
Una generalización de la segunda variante ("continua") del problema es la siguiente pregunta: ¿puede toda función continua de tres variables expresarse como una composición de un número finito de funciones continuas de dos variables? La respuesta afirmativa a esta pregunta general la dio en 1957 Vladimir Arnold , que entonces tenía sólo diecinueve años y era alumno de Andrey Kolmogorov . Kolmogorov había demostrado el año anterior que cualquier función de varias variables se puede construir con un número finito de funciones de tres variables. Arnold luego amplió este trabajo para mostrar que en realidad sólo se requerían funciones de dos variables, respondiendo así a la pregunta de Hilbert cuando se planteó para la clase de funciones continuas.
Arnold volvió más tarde a la versión algebraica del problema, junto con Goro Shimura (Arnold y Shimura 1976).
