Efecto Shubnikov-de Haas

El efecto Shubnikov-de Haas ( SdH ), una oscilación en la conductividad de un material que se produce a bajas temperaturas en presencia de campos magnéticos muy intensos, es una manifestación macroscópica de la naturaleza mecánica cuántica inherente a la materia. A menudo se utiliza para determinar la masa efectiva de los portadores de carga ( electrones y huecos de electrones ), lo que permite a los investigadores distinguir entre poblaciones de portadores mayoritarios y minoritarios . El efecto recibe su nombre de Wander Johannes de Haas y Lev Shubnikov .

Proceso físico

A temperaturas suficientemente bajas y campos magnéticos altos, los electrones libres en la banda de conducción de un metal , semimetal o semiconductor de banda estrecha se comportarán como osciladores armónicos simples . Cuando se cambia la intensidad del campo magnético, el período de oscilación de los osciladores armónicos simples cambia proporcionalmente. El espectro de energía resultante está formado por niveles de Landau separados por la energía del ciclotrón . Estos niveles de Landau se dividen aún más por la energía de Zeeman . En cada nivel de Landau, las energías del ciclotrón y Zeeman y el número de estados de electrones ( eB / h ) aumentan linealmente con el aumento del campo magnético. Por lo tanto, a medida que aumenta el campo magnético, los niveles de Landau divididos por espín se mueven a una energía más alta. A medida que cada nivel de energía pasa por la energía de Fermi , se despobla a medida que los electrones quedan libres para fluir como corriente. Esto hace que las propiedades de transporte y termodinámicas del material oscilen periódicamente, produciendo una oscilación medible en la conductividad del material. Dado que la transición a través del "borde" de Fermi abarca un rango pequeño de energías, la forma de onda es cuadrada en lugar de sinusoidal , y la forma se vuelve cada vez más cuadrada a medida que se reduce la temperatura. ^{[ cita requerida ]}

Teoría

Consideremos un gas cuántico bidimensional de electrones confinados en una muestra con un ancho dado y con bordes. En presencia de una densidad de flujo magnético B , los valores propios de energía de este sistema se describen mediante niveles de Landau . Como se muestra en la Fig. 1, estos niveles son equidistantes a lo largo del eje vertical. Cada nivel de energía es sustancialmente plano dentro de una muestra (ver Fig. 1). En los bordes de una muestra, la función de trabajo dobla los niveles hacia arriba.

Fig. 1: Canales de borde de una muestra con un gas de electrones bidimensional

La figura 1 muestra la energía de Fermi E _F ubicada entre ^[1] dos niveles de Landau . Los electrones se vuelven móviles a medida que sus niveles de energía cruzan la energía de Fermi E _F. Con la energía de Fermi E _F entre dos niveles de Landau , la dispersión de electrones ocurrirá solo en los bordes de una muestra donde los niveles están doblados. Los estados de electrones correspondientes se conocen comúnmente como canales de borde.

El método de Landauer-Büttiker se utiliza para describir el transporte de electrones en esta muestra en particular. El método de Landauer-Büttiker permite el cálculo de corrientes netas Im que _fluyen entre un número de contactos 1 ≤ m ≤ n . En su forma simplificada, la corriente neta _Im del contacto m con potencial químico _μm se lee

donde e denota la carga del electrón , h denota la constante de Planck e i representa el número de canales de borde. ^[2] La matriz T _ml denota la probabilidad de transmisión de una partícula cargada negativamente (es decir, de un electrón) desde un contacto l ≠ m a otro contacto m . La corriente neta Im en la relación ( 1 ) está formada por las corrientes hacia el contacto m _y por la corriente transmitida desde el contacto m a todos los demás contactos l ≠ m . Esa corriente es igual al voltaje μ _m / e del contacto m multiplicado por la conductividad Hall de 2 e ² / h por canal de borde.

Fig. 2: Disposición de contactos para la medición de oscilaciones SdH

La figura 2 muestra una muestra con cuatro contactos. Para hacer pasar una corriente a través de la muestra, se aplica un voltaje entre los contactos 1 y 4. Se mide un voltaje entre los contactos 2 y 3. Supongamos que los electrones salen del primer contacto, luego se transmiten del contacto 1 al contacto 2, luego del contacto 2 al contacto 3, luego del contacto 3 al contacto 4 y, finalmente, del contacto 4 nuevamente al contacto 1. Una carga negativa (es decir, un electrón) transmitida del contacto 1 al contacto 2 dará como resultado una corriente del contacto 2 al contacto 1. Un electrón transmitido del contacto 2 al contacto 3 dará como resultado una corriente del contacto 3 al contacto 2, etc. Supongamos también que no se transmiten electrones por ningún otro camino. Las probabilidades de transmisión de contactos ideales son entonces

${\displaystyle T_{21}=T_{32}=T_{43}=T_{14}=1,}$

y

${\displaystyle T_{ml}=0}$

De lo contrario, con estas probabilidades, las corrientes I ₁ ... I ₄ a través de los cuatro contactos y con sus potenciales químicos μ ₁ ... μ ₄ , se puede reescribir la ecuación ( 1 )

${\displaystyle \left({\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\\I_{4}\end{matrix}}\right)={\frac {2e\cdot i}{h}}\left({\begin{matrix}1&0&0&-1\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\\\mu _{3}\\\mu _{4}\end{matrix}}\right).}$

Se mide un voltaje entre los contactos 2 y 3. Lo ideal es que la medición del voltaje no implique un flujo de corriente a través del medidor, por lo que I ₂  =  I ₃  = 0. De ello se deduce que

${\displaystyle I_{3}=0={\frac {2e\cdot i}{h}}\left(-\mu _{2}+\mu _{3}\right),}$

${\displaystyle \mu _{2}=\mu _{3}.}$

En otras palabras, los potenciales químicos μ ₂ y μ ₃ y sus voltajes respectivos μ ₂ / e y μ ₃ / e son los mismos. Como consecuencia de que no hay caída de voltaje entre los contactos 2 y 3, la corriente I ₁ experimenta una resistividad cero R _SdH entre los contactos 2 y 3.

${\displaystyle R_{\mathrm {SdH} }={\frac {\mu _{2}-\mu _{3}}{e\cdot I_{1}}}=0.}$

El resultado de resistividad cero entre los contactos 2 y 3 es una consecuencia de que los electrones son móviles solo en los canales del borde de la muestra. La situación sería diferente si un nivel de Landau se acercara a la energía de Fermi E _F . Cualquier electrón en ese nivel se volvería móvil a medida que su energía se acercara a la energía de Fermi E _F . En consecuencia, la dispersión conduciría a R _SdH  > 0. En otras palabras, el enfoque anterior produce resistividad cero siempre que los niveles de Landau se posicionen de manera tal que la energía de Fermi E _F esté entre dos niveles.

Aplicaciones

Las oscilaciones de Shubnikov-De Haas se pueden utilizar para determinar la densidad electrónica bidimensional de una muestra. Para un flujo magnético dado, el número máximo D de electrones con espín S  = 1/2 por nivel de Landau es ${\displaystyle \Phi }$

Al insertar las expresiones para el cuanto de flujo Φ ₀ = h / e y para el flujo magnético Φ = BA la relación ( 2 ) se lee

${\displaystyle D=2{\frac {eBA}{h}}}$

Sea N el número máximo de estados por unidad de área, por lo que D = NA y

${\displaystyle N=2{\frac {eB}{h}}.}$

Ahora, supongamos que cada nivel de Landau corresponde a un canal de borde de la muestra anterior. Para un número dado i de canales de borde, cada uno lleno con N electrones por unidad de área, el número total n de electrones por unidad de área será

${\displaystyle n=iN=2i{\frac {eB}{h}}.}$

El número total n de electrones por unidad de área se conoce comúnmente como la densidad electrónica de una muestra. Ningún electrón desaparece de la muestra hacia lo desconocido, por lo que la densidad electrónica n es constante. De ello se deduce que

${\displaystyle B_{i}={\frac {nh}{2ei}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{B_{i}}}={\frac {2ei}{nh}},}$

Fig. 3: Densidades de flujo magnético inverso 1/ B _i vs mínimos de Shubnikov–De Haas observados en Bi ₂ Se _{3 altamente dopado}

Para una muestra dada, todos los factores, incluida la densidad electrónica n en el lado derecho de la relación ( 3 ), son constantes. Al trazar el índice i de un canal de borde frente al recíproco de su densidad de flujo magnético 1/ B _i , se obtiene una línea recta con pendiente 2 e /( nh ). Dado que se conoce la carga electrónica e y también la constante de Planck h , se puede derivar la densidad electrónica n de una muestra a partir de este gráfico. ^[3] Se observan oscilaciones de Shubnikov–De Haas en Bi ₂ Se ₃ altamente dopado . ^[4] La figura 3 muestra la densidad de flujo magnético recíproca 1/ B _i de los mínimos 10 a 14 de una muestra de Bi ₂ Se ₃ . La pendiente de 0,00618/T obtenida a partir de un ajuste lineal produce la densidad electrónica n

${\displaystyle n={\frac {2e}{0.00618/\mathrm {T} \cdot h}}\approx 7.82\times 10^{14}/\mathrm {m} ^{2}.}$

Las oscilaciones de Shubnikov-de Haas se pueden utilizar para mapear la superficie de Fermi de los electrones en una muestra, determinando los períodos de oscilación para varias direcciones de campo aplicadas.

Proceso físico relacionado

El efecto está relacionado con el efecto De Haas–Van Alphen , que es el nombre dado a las oscilaciones correspondientes en la magnetización. La firma de cada efecto es una forma de onda periódica cuando se representa gráficamente como una función del campo magnético inverso. La " frecuencia " de las oscilaciones de magnetorresistencia indica áreas de órbitas extremas alrededor de la superficie de Fermi . El área de la superficie de Fermi se expresa en teslas . Más exactamente, el período en teslas inversos es inversamente proporcional al área de la órbita extrema de la superficie de Fermi en m/cm inversos.

Referencias

1. Dado que los defectos en la muestra afectarán la posición de la energía de Fermi E _F , se trata estrictamente de una aproximación. Por ahora, se desestima cualquier influencia de los defectos y de las temperaturas superiores a 0 K.
2. El número de canales de borde i está estrechamente relacionado con el factor de llenado ν = i . El factor 2 se debe a la degeneración del espín .
3. La relación ( 3 ) se expresa en unidades del SI . En unidades del CGS , la misma relación se lee ${\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{B}}\right)={\frac {2\cdot e}{n\cdot h\cdot c}}.}$
4. Cao, Helin; Tian, ​​Jifa; Miotkowski, Ireneusz; Shen, Tian; Hu, Jiuning; Qiao, Shan; Chen, Yong P. (2012). "Efecto Hall cuantificado y oscilaciones Shubnikov–De Haas en Bi2Se3 altamente dopado: evidencia de transporte en capas de graneleros". Physical Review Letters . 108 (21): 216803. Bibcode :2012PhRvL.108u6803C. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.216803 . PMID  23003290.

• Schubnikow, L.; De Haas, WJ (1930). "Magnetische Widerstandsvergrösserung in Einkristallen von Wismut bei tiefen Temperaturen" [Aumento de la resistencia magnética en monocristales de bismuto a bajas temperaturas] (PDF) . Actas de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos (en alemán). 33 : 130–133.
• Schubnikow, L.; De Haas, WJ (1930). "Neue Erscheinungen bei der Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Wasserstoff (I)" [Nuevos fenómenos en el cambio de resistencia de los cristales de bismuto en un campo magnético a la temperatura del hidrógeno líquido (I)] (PDF) . Actas de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos . 33 : 363–378.
• Schubnikow, L.; De Haas, WJ (1930). "Neue Erscheinungen bei der Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Wasserstoff (II)" (PDF) . Actas de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos . 33 : 418–432.
• Schubnikow, L.; De Haas, WJ (1930). "Die Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Stickstoff" [El cambio en la resistencia de los cristales de bismuto en un campo magnético a la temperatura del nitrógeno líquido] (PDF) . Actas de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos . 33 : 433–439.

Enlaces externos

• El artículo utiliza texto del efecto Shubnikov en Lang.gov Archivado el 22 de septiembre de 2017 en Wayback Machine , que es de dominio público como trabajo de una agencia del gobierno de EE. UU.
• Comportamiento de los materiales en campos magnéticos intensos Archivado el 3 de septiembre de 2006 en Wayback Machine