Gavilla construible

En matemáticas , un haz construible es un haz de grupos abelianos sobre algún espacio topológico X , tal que X es la unión de un número finito de subconjuntos localmente cerrados en cada uno de los cuales el haz es un haz localmente constante ]. Tiene su origen en la geometría algebraica , donde en la cohomología étale las gavillas construibles se definen de manera similar (Artin, Grothendieck & Verdier 1972, Exposé IX § 2). Para conocer la categoría derivada de gavillas construibles, consulte una sección en ℓ-gavilla ádica .

El teorema de finitud en cohomología étale establece que las imágenes directas superiores de una gavilla construible son construibles.

Definición de poleas construibles étale en un esquema.X

Aquí utilizamos la definición de gavillas étale construibles del libro de Freitag y Kiehl al que se hace referencia a continuación. En lo que sigue en esta subsección, todas las gavillas de los esquemas son gavillas étale a menos que se indique lo contrario. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

Una gavilla se llama construible si se puede escribir como una unión finita de subesquemas localmente cerrados de modo que para cada subesquema de la cubierta, la gavilla es una gavilla finita localmente constante. En particular, esto significa que para cada subesquema que aparece en la cobertura finita, hay una cobertura étale tal que para todos los subesquemas étale en la cobertura de , la gavilla es constante y está representada por un conjunto finito. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{Y}:Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{Y}=i_{Y}^{\ast }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lbrace U_{i}\to Y\mid i\in I\rbrace }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (i_{Y})^{\ast }{\mathcal {F}}|_{U_{i}}}$

Esta definición nos permite derivar, de la inducción noetheriana y del hecho de que una gavilla étale es constante si y sólo si su restricción de a también es constante, dónde está la reducción del esquema . De ello se sigue que una gavilla étale representable es en sí misma construible. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\text{red}}}$ ${\displaystyle X_{\text{red}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

De particular interés para la teoría de las gavillas étale construibles es el caso en el que se trabaja con gavillas étale construibles de grupos abelianos. El resultado notable es que las gavillas étale construibles de grupos abelianos son precisamente los objetos noetherianos en la categoría de todas las gavillas étale de torsión (cf. Proposición I.4.8 de Freitag-Kiehl).

Ejemplos de topología algebraica

La mayoría de los ejemplos de gavillas construibles provienen de gavillas de cohomología de intersección o del avance derivado de un sistema local en una familia de espacios topológicos parametrizados por un espacio base.

Avance derivado en P1

Un buen conjunto de ejemplos de poleas construibles proviene del avance derivado (con o sin soporte compacto) de un sistema local en . Dado que cualquier bucle es homotópico a un bucle, solo tenemos que describir la monodromía alrededor y . Por ejemplo, podemos configurar los operadores de monodromía para que sean ${\displaystyle U=\mathbb {P} ^{1}-\{0,1,\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0,1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}},\quad &T_{1}={\begin{bmatrix}1&l\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

donde los tallos de nuestro sistema local son isomorfos a . Luego, si tomamos el avance derivado o de for obtenemos un haz construible donde los tallos en los puntos calculan la cohomología de los sistemas locales restringidos a una vecindad de ellos en . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\oplus 2}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} j_{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} j_{!}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle j:U\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle 0,1,\infty }$ ${\displaystyle U}$

Familia Weierstrass de curvas elípticas

Por ejemplo, considere la familia de curvas elípticas degeneradas.

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-t)}$

encima . En esta familia de curvas degenera en una curva nodal. Si denotamos esta familia para entonces ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle t=0,1}$ ${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{0}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong \mathbf {R} ^{2}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} }}$

y

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}\oplus {\underline {\mathbb {Q} }}_{\{0,1\}}}$

donde los tallos del sistema local son isomorfos a . Esta monodromía local alrededor de este sistema local se puede calcular utilizando la fórmula de Picard-Lefschetz . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle 0,1}$

Referencias

notas del seminario

• Gunningham, Sam; Hughes, Richard, Temas en módulos D (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 21 de septiembre de 2017.

Referencias

• Artín, Michael ; Grothendieck, Alejandro ; Verdier, Jean-Louis , eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 (PDF) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 305. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . págs.vi+640. doi :10.1007/BFb0070714. ISBN 978-3-540-06118-2. SEÑOR  0354654.
• Dimca, Alexandru (2004), Gavillas en topología , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20665-1, señor  2050072
• Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988), Etale Cohomology and the Weil Conjecture , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 13, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-02541-3, ISBN 3-540-12175-7, señor  0926276