Polinomios de Macdonald

En matemáticas, los polinomios de Macdonald P _λ ( x ; t , q ) son una familia de polinomios simétricos ortogonales en varias variables, introducidos por Macdonald en 1987. Posteriormente introdujo una generalización no simétrica en 1995. Macdonald originalmente asoció sus polinomios con pesos λ de sistemas de raíces finitas y usó solo una variable t , pero luego se dio cuenta de que es más natural asociarlos con sistemas de raíces afines que con sistemas de raíces finitas, en cuyo caso la variable t puede reemplazarse por varias variables diferentes t =( t ₁ ,..., t _k ), uno para cada una de las k órbitas de raíces en el sistema de raíces afines. Los polinomios de Macdonald son polinomios en n variables x =( x ₁ ,..., x _n ), donde n es el rango del sistema de raíces afines. Generalizan muchas otras familias de polinomios ortogonales, como los polinomios de Jack , los polinomios de Hall-Littlewood y los polinomios de Askey-Wilson , que a su vez incluyen la mayoría de los polinomios ortogonales de 1 variable nombrados como casos especiales. Los polinomios de Koornwinder son polinomios de Macdonald de ciertos sistemas de raíces no reducidos. Tienen profundas relaciones con las álgebras afines de Hecke y los esquemas de Hilbert , que se utilizaron para probar varias conjeturas hechas por Macdonald sobre ellos.

Definición

Primero corrija alguna notación:

• R es un sistema de raíces finito en un espacio vectorial real V.
• R ⁺ es una elección de raíces positivas , a las que corresponde una cámara de Weyl positiva .
• W es el grupo Weyl de R.
• Q es la red de raíces de R (la red atravesada por las raíces).
• P es la red de pesos de R (que contiene Q ).
• Un ordenamiento de los pesos : si y sólo si es una combinación lineal no negativa de raíces simples . ${\displaystyle \mu \leq \lambda }$ ${\displaystyle \lambda -\mu }$
• P ⁺ es el conjunto de pesos dominantes: los elementos de P en la cámara de Weyl positiva.
• ρ es el vector de Weyl : la mitad de la suma de las raíces positivas; se trata de un elemento especial de P ⁺ en el interior de la cámara de Weyl positiva.
• F es un campo de característica 0, normalmente los números racionales.
• A = F ( P ) es el álgebra de grupo de P , con una base de elementos escritos e ^λ para λ ∈ P .
• Si f = e ^λ , entonces f significa e ^−λ , y esto se extiende por linealidad a todo el álgebra de grupos.
• m _μ = Σ _{λ ∈ W μ} e ^λ es una suma de órbitas; estos elementos forman una base para la subálgebra A ^W de elementos fijados por W .
• ${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{r\geq 0}(1-aq^{r})}$, el infinito símbolo q-Pochhammer .
• ${\displaystyle \Delta =\prod _{\alpha \in R}{(e^{\alpha };q)_{\infty } \over (te^{\alpha };q)_{\infty }}.}$
• ${\displaystyle \langle f,g\rangle =({\text{constant term of }}f{\overline {g}}\Delta )/|W|}$es el producto interno de dos elementos de A , al menos cuando t es una potencia entera positiva de q .

Los polinomios de Macdonald P _λ para λ ∈ P ⁺ están definidos únicamente por las dos condiciones siguientes:

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{\mu \leq \lambda }u_{\lambda \mu }m_{\mu }}$donde u _λμ es una función racional de q y t con u _λλ = 1;

P _λ y P _μ son ortogonales si λ < μ.

En otras palabras , los polinomios de Macdonald se obtienen ortogonalizando la base obvia para A ^W. La existencia de polinomios con estas propiedades es fácil de demostrar (para cualquier producto interno). Una propiedad clave de los polinomios de Macdonald es que son ortogonales : 〈P _λ , P _μ〉 = 0 siempre que λ ≠ μ. Ésta no es una consecuencia trivial de la definición porque P ⁺ no está totalmente ordenado y, por tanto, tiene muchos elementos que son incomparables. Por tanto, hay que comprobar que los polinomios correspondientes siguen siendo ortogonales. La ortogonalidad se puede demostrar mostrando que los polinomios de Macdonald son vectores propios para un álgebra de conmutación de operadores autoadjuntos con espacios propios unidimensionales, y utilizando el hecho de que los espacios propios para diferentes valores propios deben ser ortogonales.

En el caso de sistemas de raíces que no son simplemente entrelazados (B, C, F, G), se puede elegir que el parámetro t varíe con la longitud de la raíz, dando una familia de polinomios de Macdonald de tres parámetros. También se puede ampliar la definición al sistema de raíces no reducido BC, en cuyo caso se obtiene una familia de seis parámetros (una t para cada órbita de raíces, más q ) conocida como polinomios de Koornwinder . A veces es mejor considerar que los polinomios de Macdonald dependen de un sistema de raíces afín posiblemente no reducido. En este caso, hay un parámetro t asociado a cada órbita de raíces en el sistema de raíces afines, más un parámetro q . El número de órbitas de las raíces puede variar de 1 a 5.

Ejemplos

• Si q = t los polinomios de Macdonald se convierten en los caracteres de Weyl de las representaciones del grupo compacto del sistema de raíces, o las funciones de Schur en el caso de sistemas de raíces de tipo A.
• Si q = 0 , los polinomios de Macdonald se convierten en funciones esféricas zonales (reescaladas) para un grupo p -ádico semisimple, o los polinomios de Hall-Littlewood cuando el sistema de raíces tiene tipo A.
• Si t = 1 , los polinomios de Macdonald se convierten en las sumas sobre órbitas W , que son las funciones simétricas monomio cuando el sistema de raíces es de tipo A.
• Si ponemos t = q ^α y dejamos que q tienda a 1, los polinomios de Macdonald se convierten en polinomios de Jack cuando el sistema de raíces es de tipo A , y en polinomios de Heckman-Opdam para sistemas de raíces más generales.
• Para el sistema de raíces afines A ₁ , los polinomios de Macdonald son los polinomios de Rogers .
• Para el sistema de raíces afines de rango 1 no reducido de tipo ( C^∨
  ₁, C ₁ ), los polinomios de Macdonald son los polinomios de Askey-Wilson , que a su vez incluyen como casos especiales la mayoría de las familias nombradas de polinomios ortogonales en 1 variable.
• Para el sistema de raíces afines no reducido de tipo ( C^∨
  _norte, C _n ), los polinomios de Macdonald son los polinomios de Koornwinder .

La conjetura del término constante de Macdonald

Si t = q ^k para algún entero positivo k , entonces la norma de los polinomios de Macdonald viene dada por

${\displaystyle \langle P_{\lambda },P_{\lambda }\rangle =\prod _{\alpha \in R,\alpha >0}\prod _{0<i<k}{1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))+i} \over 1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))-i}}.}$

Esto fue conjeturado por Macdonald (1982) como una generalización de la conjetura de Dyson , y Cherednik (1995) lo demostró para todos los sistemas de raíces (reducidos) utilizando propiedades de álgebras de Hecke de doble afinidad . La conjetura había sido previamente demostrada caso por caso para todos los sistemas de raíces excepto los del tipo E _n por varios autores.

Hay otras dos conjeturas que, junto con la conjetura de la norma, se denominan colectivamente conjeturas de Macdonald en este contexto: además de la fórmula para la norma, Macdonald conjeturó una fórmula para el valor de P _λ en el punto t ^ρ , y una simetría

${\displaystyle {\frac {P_{\lambda }(\dots ,q^{\mu _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\lambda }(t^{\rho })}}={\frac {P_{\mu }(\dots ,q^{\lambda _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\mu }(t^{\rho })}}.}$

Nuevamente, Cherednik  (1995) demostró esto para sistemas de raíces reducidos generales , utilizando álgebras de Hecke con doble afinidad , y poco después se extendió al caso BC a través del trabajo de van Diejen, Noumi y Sahi.

La conjetura de la positividad de Macdonald

En el caso de sistemas de raíces de tipo An _{−1 ,} los polinomios de Macdonald son simplemente polinomios simétricos en n variables con coeficientes que son funciones racionales de q y t . Cierta versión transformada de los polinomios de Macdonald (ver Fórmula combinatoria a continuación) forma una base ortogonal del espacio de funciones simétricas sobre y, por lo tanto, puede expresarse en términos de funciones de Schur . Los coeficientes K _λμ ( q , t ) de estas relaciones se denominan coeficientes de Kostka-Macdonald o coeficientes qt -Kostka. Macdonald conjeturó que los coeficientes de Kostka-Macdonald eran polinomios en q y t con coeficientes enteros no negativos. Estas conjeturas ahora están probadas; El paso más difícil y final fue demostrar la positividad, lo cual fue realizado por Mark Haiman (2001), demostrando que n ! conjetura . ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (q,t)}$ ${\displaystyle s_{\lambda }}$

Todavía es un problema central abierto en combinatoria algebraica encontrar una fórmula combinatoria para los coeficientes qt -Kostka.

¡norte! conjetura

Entonces !​ La conjetura de Adriano Garsia y Mark Haiman establece que para cada partición μ de n el espacio

${\displaystyle D_{\mu }=C[\partial _{x},\partial _{y}]\,\Delta _{\mu }}$

abarcado por todas las derivadas parciales superiores de

${\displaystyle \Delta _{\mu }=\det(x_{i}^{p_{j}}y_{i}^{q_{j}})_{1\leq i,j,\leq n}}$

tiene dimensión n !, donde ( p _j , q _j ) recorren los n elementos del diagrama de la partición μ, considerados como un subconjunto de los pares de enteros no negativos. Por ejemplo, si μ es la partición 3 = 2 + 1 de n  = 3 entonces los pares ( p _j , q _j ) son (0, 0), (0, 1), (1, 0) y el espacio D _μ está abarcado por

${\displaystyle \Delta _{\mu }=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}$

${\displaystyle y_{2}-y_{3}}$

${\displaystyle y_{3}-y_{1}}$

${\displaystyle x_{3}-x_{2}}$

${\displaystyle x_{1}-x_{3}}$

${\displaystyle 1}$

que tiene dimensión 6 = 3!.

La prueba de Haiman de la conjetura de positividad de Macdonald y la n ! La conjetura implicaba demostrar que el esquema isoespectral de Hilbert de n puntos en un plano era Cohen-Macaulay (e incluso Gorenstein ). Resultados anteriores de Haiman y Garsia ya habían demostrado que esto implicaba la n ! conjetura, y que la n ! La conjetura implicaba que los coeficientes de Kostka-Macdonald eran multiplicidades de caracteres graduadas para los módulos D _μ . Esto implica inmediatamente la conjetura de la positividad de Macdonald porque las multiplicidades de caracteres tienen que ser números enteros no negativos.

Ian Grojnowski y Mark Haiman encontraron otra prueba de la conjetura de positividad de Macdonald demostrando una conjetura de positividad para polinomios LLT .

Fórmula combinatoria de los polinomios de Macdonald

En 2005, J. Haglund, M. Haiman y N. Loehr ^[1] dieron la primera prueba de una interpretación combinatoria de los polinomios de Macdonald. En 1988, IG Macdonald ^[2] dio la segunda prueba de una interpretación combinatoria de los polinomios de Macdonald (ecuaciones (4.11) y (5.13)). La fórmula de Macdonald es diferente a la del trabajo de Haglund, Haiman y Loehr, con muchos menos términos (esta fórmula se prueba también en el trabajo fundamental de Macdonald, ^[3] Capítulo VI (7.13)). Si bien son muy útiles para el cálculo e interesantes por derecho propio, sus fórmulas combinatorias no implican inmediatamente la positividad de los coeficientes de Kostka-Macdonald, ya que dan la descomposición de los polinomios de Macdonald en funciones monomiosimétricas en lugar de funciones de Schur. ${\displaystyle K_{\lambda \mu }(q,t),}$

Escritos en los polinomios de Macdonald transformados en lugar de los habituales , son ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=\sum _{\sigma :\mu \to \mathbb {Z} _{+}}q^{inv(\sigma )}t^{maj(\sigma )}x^{\sigma }}$

donde σ es un relleno del diagrama de Young de forma μ, inv y maj son ciertas estadísticas combinatorias (funciones) definidas en el relleno σ. Esta fórmula expresa los polinomios de Macdonald en infinitas variables. Para obtener los polinomios en n variables, simplemente restrinja la fórmula a rellenos que solo usen los números enteros 1, 2, ..., n . El término x ^σ debe interpretarse como donde σ _i es el número de casillas en el llenado de μ con contenido i . ${\displaystyle x_{1}^{\sigma _{1}}x_{2}^{\sigma _{2}}\cdots }$

Esto representa el brazo y la pierna de un cuadrado de un diagrama de Young. El brazo es el número de cuadrados a su derecha y la pierna es el número de cuadrados encima de él.

Los polinomios de Macdonald transformados en la fórmula anterior están relacionados con los polinomios de Macdonald clásicos mediante una secuencia de transformaciones. Primero, la forma integral de los polinomios de Macdonald, denotada , es un cambio de escala que borra los denominadores de los coeficientes: ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$ ${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)}$ ${\displaystyle P_{\lambda }(x;q,t)}$

${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)=\prod _{s\in D(\lambda )}(1-q^{a(s)}t^{1+l(s)})\cdot P_{\lambda }(x;q,t)}$

donde es la colección de cuadrados en el diagrama de Young de y denotan el brazo y el cateto del cuadrado , como se muestra en la figura. Nota: La figura de la derecha utiliza la notación francesa para el cuadro, que está invertida verticalmente de la notación inglesa utilizada en la página de Wikipedia para los diagramas de Young. La notación francesa se utiliza más comúnmente en el estudio de los polinomios de Macdonald. ${\displaystyle D(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle a(s)}$ ${\displaystyle l(s)}$ ${\displaystyle s}$

Los polinomios de Macdonald transformados se pueden definir en términos de 's. Tenemos ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$ ${\displaystyle J_{\mu }}$

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=t^{-n(\mu )}J_{\mu }\left[{\frac {X}{1-t^{-1}}};q,t^{-1}\right]}$

dónde

${\displaystyle n(\mu )=\sum _{i}\mu _{i}\cdot (i-1).}$

La notación entre corchetes anterior denota sustitución pletística .

Esta fórmula se puede utilizar para probar la fórmula de Knop y Sahi para los polinomios de Jack .

Polinomios de Macdonald no simétricos

En 1995, Macdonald introdujo un análogo no simétrico de los polinomios de Macdonald simétricos, y los polinomios de Macdonald simétricos se pueden recuperar fácilmente a partir de su contraparte no simétrica. En su definición original, muestra que los polinomios de Macdonald asimétricos son una familia única de polinomios ortogonales a un determinado producto interno, además de satisfacer una propiedad de triangularidad cuando se expanden en la base monomial.

En 2007, Haglund, Haiman y Loehr dieron una fórmula combinatoria para los polinomios de Macdonald asimétricos.

Los polinomios de Macdonald no simétricos se especializan en caracteres Demazure tomando q=t=0, y en polinomios clave cuando q=t=∞.

Fórmulas combinatorias basadas en el proceso de exclusión.

En 2018, S. Corteel , O. Mandelshtam y L. Williams utilizaron el proceso de exclusión para dar una caracterización combinatoria directa de polinomios de Macdonald tanto simétricos como no simétricos. ^[4] Sus resultados difieren del trabajo anterior de Haglund en parte porque dan una fórmula directamente para los polinomios de Macdonald en lugar de una transformación de los mismos. Desarrollan el concepto de cola multilínea, que es una matriz que contiene bolas o celdas vacías junto con un mapeo entre las bolas y sus vecinas y un mecanismo de etiquetado combinatorio. El polinomio de Macdonald asimétrico entonces satisface:

${\displaystyle E_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)}$

donde la suma abarca todas las colas multilínea de tipo y es una función de ponderación que asigna esas colas a polinomios específicos. El polinomio de Macdonald simétrico satisface: ${\displaystyle L\times n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {wt} }$

${\displaystyle P_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{\mu }E_{\mu }(x_{1},...,x_{n};q,t)=\sum _{\mu }\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)}$

donde la suma exterior abarca todas las composiciones distintas que son permutaciones de y la suma interior es como antes. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

Referencias

1. Haglund, J.; Haimán, M.; Loehr, N. (2005), "Una fórmula combinatoria para polinomios de Macdonald", Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense , 18 (3): 735–761, arXiv : math/0409538 , doi : 10.1090/S0894-0347-05-00485 -6 , ISSN  0894-0347, SEÑOR  2138143
2. Macdonald, IG Una nueva clase de funciones simétricas. Publ. IRMA Estrasburgo, 1988, 372/S–20 Actes 20e Séminaire Lotharingien, p. 131–171. eudml.org
3. Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios de Hall. Segunda edicion. Monografías de matemáticas de Oxford. Publicaciones científicas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1995. x+475 págs. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
4. Corteel, Sylvie; Mandelshtam, Olya; Williams, Lauren (2018), "De colas multilínea a polinomios de Macdonald mediante el proceso de exclusión", arXiv : 1811.01024 [math.CO]

Bibliografía

• Cherednik, Ivan (1995), "Double Affine Hecke Algebras and Macdonald's Conjectures", Annals of Mathematics , segunda serie, 141 (1), Annals of Mathematics: 191–216, doi :10.2307/2118632, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118632
• Garsía, Adriano; Remmel, Jeffrey B. (15 de marzo de 2005), " Avances en la teoría de los polinomios de Macdonald ", PNAS , 102 (11): 3891–3894, Bibcode :2005PNAS..102.3891G, doi : 10.1073/pnas.0409705102 , PMC  554818 , PMID  15753285
• Mark Haiman Combinatoria, funciones simétricas y esquemas de Hilbert Current Developments in Mathematics 2002, no. 1 (2002), 39-111.
• Haiman, Mark Notas sobre los polinomios de Macdonald y la geometría de los esquemas de Hilbert. Funciones simétricas 2001: estudios de desarrollos y perspectivas, 1–64, NATO Sci. Ser. II Matemáticas. Física. Química, 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2002. SEÑOR 2059359
• Haiman, Mark (2001), " Esquemas de Hilbert, polígrafos y la conjetura de positividad de Macdonald ", J. Amer. Matemáticas. Soc. , 14 (4): 941–1006, arXiv : math.AG/0010246 , doi : 10.1090/S0894-0347-01-00373-3, S2CID  9253880
• Kirillov, AA (1997), "Conferencias sobre álgebras afines de Hecke y conjeturas de Macdonald", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 34 (3): 251–292, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00727-1
• Macdonald, IG (1982), "Algunas conjeturas para sistemas raíz", Revista SIAM de análisis matemático , 13 (6): 988–1007, doi :10.1137/0513070, ISSN  0036-1410, MR  0674768
• Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios de Hall. Segunda edicion. Monografías de matemáticas de Oxford. Publicaciones científicas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1995. x+475 págs. ISBN 0-19-853489-2 SEÑOR 1354144 
• Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios ortogonales. Conferencias en memoria de la decana Jacqueline B. Lewis presentadas en la Universidad de Rutgers, New Brunswick, Nueva Jersey. Serie de conferencias universitarias, 12. Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Providence, RI, 1998. xvi+53 págs. ISBN 0-8218-0770-6 MR 1488699 
• Macdonald, IG Álgebras afines de Hecke y polinomios ortogonales. Seminario Bourbaki 797 (1995).
• Macdonald, IG (2000-2001), "Polinomios ortogonales asociados con sistemas de raíces", Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 45 : art. B45a, arXiv : math.QA/0011046 , SEÑOR  1817334
• Macdonald, IG (2003), Álgebras afines de Hecke y polinomios ortogonales , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 157, Cambridge: Cambridge University Press, págs. x+175, ISBN 978-0-521-82472-9, SEÑOR  1976581

enlaces externos

• Página de Mike Zabrocki sobre polinomios de Macdonald.
• Algunos de los artículos de Haiman sobre polinomios de Macdonald.