tramo lineal

En álgebra lineal, subespacio generado.

El plano rayado es el tramo lineal de u y v en R ³ .

En matemáticas , el tramo lineal (también llamado casco lineal ^[1] o simplemente tramo ) de un conjunto S de vectores (de un espacio vectorial ), denotado tramo ( S ) , ^[2] se define como el conjunto de todas las combinaciones lineales. de los vectores en S . ^[3] Por ejemplo, dos vectores linealmente independientes abarcan un plano . El tramo lineal se puede caracterizar como la intersección de todos los subespacios lineales que contienen S o como el subespacio más pequeño que contiene S. El tramo lineal de un conjunto de vectores es, por tanto, un espacio vectorial en sí mismo. Los intervalos se pueden generalizar a matroides y módulos .

Para expresar que un espacio vectorial V es un tramo lineal de un subconjunto S , comúnmente se usan las siguientes frases, ya sea: S abarca a V , S es un conjunto generador de V , V está abarcado/generado por S , o S es un generador. o grupo electrógeno de V .

Definición

Dado un espacio vectorial V sobre un campo K , el lapso de un conjunto S de vectores (no necesariamente finito) se define como la intersección W de todos los subespacios de V que contienen S. W se conoce como el subespacio abarcado por S o por los vectores en S. Por el contrario, S se denomina conjunto generador de W y decimos que S abarca W.

Alternativamente, el lapso de S puede definirse como el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos (vectores) de S , que se desprende de la definición anterior. ^{[4] [5] [6] [7]}

$${\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.}$$

En el caso de S infinito , las combinaciones lineales infinitas (es decir, donde una combinación puede implicar una suma infinita, asumiendo que dichas sumas se definen de alguna manera como, por ejemplo, en un espacio de Banach ) están excluidas por la definición; una generalización que los permita no es equivalente.

Ejemplos

El espacio vectorial real tiene {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} como conjunto generador. Este conjunto de expansión en particular también es una base . Si (−1, 0, 0) fuera reemplazado por (1, 0, 0), también formaría la base canónica de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Otro conjunto generador para el mismo espacio viene dado por {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1 ⁄ 2 , 3), (1, 1, 1)}, pero este conjunto no es una base, porque es linealmente dependiente .

El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) } no es un conjunto generador de , ya que su rango es el espacio de todos los vectores cuyo último componente es cero. Ese espacio también está abarcado por el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, ya que (1, 1, 0) es una combinación lineal de (1, 0, 0) y (0, 1, 0). Por lo tanto, el espacio abarcado no se puede identificar eliminando los terceros componentes iguales a cero. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

El conjunto vacío es un conjunto abarcador de {(0, 0, 0)}, ya que el conjunto vacío es un subconjunto de todos los espacios vectoriales posibles en , y {(0, 0, 0)} es la intersección de todos estos espacios vectoriales. espacios. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

El conjunto de monomios x ⁿ , donde n es un número entero no negativo, abarca el espacio de polinomios .

Teoremas

Equivalencia de definiciones

El conjunto de todas las combinaciones lineales de un subconjunto S de V , un espacio vectorial sobre K , es el subespacio lineal más pequeño de V que contiene a S.

Prueba. Primero demostramos que el intervalo S es un subespacio de V. Dado que S es un subconjunto de V , solo necesitamos demostrar la existencia de un vector cero 0 en el tramo S , que el tramo S está cerrado bajo suma y que el tramo S está cerrado bajo multiplicación escalar. Dejemos que sea trivial que el vector cero de V exista en el intervalo S , ya que . Sumar dos combinaciones lineales de S también produce una combinación lineal de S :, donde todos , y multiplicar una combinación lineal de S por un escalar producirá otra combinación lineal de S :. Por tanto, el intervalo S es un subespacio de V . ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{i},\mu _{i}\in K}$ ${\displaystyle c\in K}$ ${\displaystyle c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$

Supongamos que W es un subespacio lineal de V que contiene S. De ello se deduce que , dado que cada v _i es una combinación lineal de S (trivialmente). Dado que W es cerrado bajo suma y multiplicación escalar, entonces cada combinación lineal debe estar contenida en W. Por lo tanto, el intervalo S está contenido en cada subespacio de V que contiene S , y la intersección de todos esos subespacios, o el subespacio más pequeño, es igual al conjunto de todas las combinaciones lineales de S. ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {span} S}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$

El tamaño del conjunto de expansión es al menos el tamaño del conjunto linealmente independiente

Cada conjunto generador S de un espacio vectorial V debe contener al menos tantos elementos como cualquier conjunto linealmente independiente de vectores de V.

Prueba. Sea un conjunto generador y un conjunto linealmente independiente de vectores de V . Queremos mostrar eso . ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$ ${\displaystyle W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}}$ ${\displaystyle m\geq n}$

Dado que S abarca V , entonces también debe abarcar V y debe ser una combinación lineal de S. Por tanto , es linealmente dependiente y podemos eliminar un vector de S que sea una combinación lineal de los otros elementos. Este vector no puede ser ninguno de los _wi , ya que W es linealmente independiente. El conjunto resultante es , que es un conjunto generador de V . Repetimos este paso n veces , donde el conjunto resultante después del p- ésimo paso es la unión de y m - p vectores de S. ${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{1}}$ ${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}}$

Se garantiza hasta el enésimo paso que siempre habrá algo _de vi que eliminar de S para cada adjunto de v y, por lo tanto, habrá al menos tantos vi como wi _{, es} decir . Para comprobarlo, asumimos a modo de contradicción que . Luego, en el paso m , tenemos el conjunto y podemos unir otro vector . Pero, dado que es un conjunto generador de V , es una combinación lineal de . Esto es una contradicción, ya que W es linealmente independiente. ${\displaystyle m\geq n}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$

El conjunto de expansión se puede reducir a una base.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Cualquier conjunto de vectores que abarque V se puede reducir a una base para V , descartando vectores si es necesario (es decir, si hay vectores linealmente dependientes en el conjunto). Si se cumple el axioma de elección , esto es cierto sin suponer que V tiene una dimensión finita. Esto también indica que una base es un conjunto mínimo cuando V es de dimensión finita.

Generalizaciones

Generalizando la definición de la extensión de puntos en el espacio, un subconjunto X del conjunto básico de una matroide se llama conjunto de expansión si el rango de X es igual al rango de todo el conjunto básico ^{[ cita requerida ]} .

La definición del espacio vectorial también se puede generalizar a módulos. ^{[8] [9]} Dado un R -módulo A y una colección de elementos a ₁ , ..., an _de A , el submódulo de A abarcado por a ₁ , ..., an es _la suma de módulos cíclicos

$${\displaystyle Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}}$$

Ra _iAA

Tramo lineal cerrado (análisis funcional)

En análisis funcional , un tramo lineal cerrado de un conjunto de vectores es el conjunto cerrado mínimo que contiene el tramo lineal de ese conjunto.

Supongamos que X es un espacio vectorial normado y sea E cualquier subconjunto no vacío de X. El tramo lineal cerrado de E , denotado por o , es la intersección de todos los subespacios lineales cerrados de X que contienen E. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} }}(E)}$

Una formulación matemática de esto es

${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.}$

El tramo lineal cerrado del conjunto de funciones x ⁿ en el intervalo [0, 1], donde n es un número entero no negativo, depende de la norma utilizada. Si se utiliza la norma L 2 , entonces el tramo lineal cerrado es el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en el intervalo. Pero si se utiliza la norma máxima , el tramo lineal cerrado será el espacio de funciones continuas en el intervalo. En cualquier caso, el tramo lineal cerrado contiene funciones que no son polinomios y, por tanto, no están en el tramo lineal mismo. Sin embargo, la cardinalidad del conjunto de funciones en el tramo lineal cerrado es la cardinalidad del continuo , que es la misma cardinalidad que para el conjunto de polinomios.

Notas

El tramo lineal de un conjunto es denso en el tramo lineal cerrado. Además, como se indica en el lema siguiente, el tramo lineal cerrado es de hecho el cierre del tramo lineal.

Los tramos lineales cerrados son importantes cuando se trata de subespacios lineales cerrados (que en sí mismos son muy importantes, consulte el lema de Riesz ).

Un lema útil

Sea X un espacio normado y sea E cualquier subconjunto no vacío de X . Entonces

1. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$es un subespacio lineal cerrado de X que contiene E ,
2. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}}$, a saber. es el cierre de , ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (E)}$
3. ${\displaystyle E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.}$

(Entonces, la forma habitual de encontrar el tramo lineal cerrado es encontrar primero el tramo lineal y luego el cierre de ese tramo lineal).

Ver también

• casco afín
• combinación cónica
• casco convexo

Citas

1. Enciclopedia de Matemáticas (2020). Casco lineal.
2. Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8
3. Axler (2015) pág. 29, § 2.7
4. Hefferon (2020) pág. 100, cap. 2, Definición 2.13
5. Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8
6. Romano (2005) págs.41-42
7. MathWorld (2021) Intervalo de espacio vectorial.
8. Romano (2005) pág. 96, cap. 4
9. Lane y Birkhoff (1999) pág. 193, cap. 6

Fuentes

Libros de texto

• Axler, Sheldon Jay (2015). Álgebra lineal bien hecha (3ª ed.). Saltador . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Hefferon, Jim (2020). Álgebra lineal (4ª ed.). Publicación ortogonal. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Carril, Saunders Mac ; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Álgebra (3ª ed.). Publicación de AMS Chelsea . ISBN 978-0821816462.
• Romano, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada (2ª ed.). Saltador . ISBN 0-387-24766-1.
• Rynne, Brian P.; Youngson, Martín A. (2008). Análisis Funcional Lineal . Saltador. ISBN 978-1848000049.
• Lay, David C. (2021) Álgebra lineal y sus aplicaciones (6.ª edición) . Pearson.

Web

• Lankham, Isaías; Nachtergaele, Bruno ; Schilling, Anne (13 de febrero de 2010). "Álgebra lineal: introducción a las matemáticas abstractas" (PDF) . Universidad de California, Davis . Consultado el 27 de septiembre de 2011 .
• Weisstein, Eric Wolfgang . "Lapso de espacio vectorial". MundoMatemático . Consultado el 16 de febrero de 2021 .
• "Casco lineal". Enciclopedia de Matemáticas . 5 de abril de 2020 . Consultado el 16 de febrero de 2021 .

enlaces externos

• Combinaciones lineales y tramos: comprensión de combinaciones lineales y tramos de vectores, khanacademy.org.
• Sanderson, Grant (6 de agosto de 2016). "Combinaciones lineales, tramos y vectores de base". Esencia del Álgebra Lineal. Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021, a través de YouTube .