Teorema de Mermin-Wagner

No hay ruptura espontánea de simetría en sistemas bidimensionales a temperatura finita

En la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística , el teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner o teorema de Mermin-Wagner (también conocido como teorema de Mermin-Wagner-Berezinskii o teorema de Coleman ) establece que las simetrías continuas no pueden romperse espontáneamente a temperatura finita en sistemas con interacciones de alcance suficientemente corto en dimensiones d ≤ 2 . Intuitivamente, este teorema implica que se pueden crear fluctuaciones de largo alcance con poco coste energético, y puesto que aumentan la entropía, son favorecidas.

Esta preferencia se debe a que si se produjera una ruptura espontánea de la simetría , los bosones de Goldstone correspondientes , al no tener masa, tendrían una función de correlación divergente infrarroja .

La ausencia de ruptura espontánea de simetría en sistemas infinitos d ≤ 2 dimensiones fue rigurosamente demostrada por David Mermin y Herbert Wagner (1966), citando una prueba inédita más general de Pierre Hohenberg (publicada más tarde en 1967) en mecánica estadística. ^[1] También fue reformulada más tarde por Sidney Coleman  (1973) para la teoría cuántica de campos . El teorema no se aplica a las simetrías discretas que se pueden ver en el modelo de Ising bidimensional .

Introducción

Consideremos el campo escalar libre φ de masa m en dos dimensiones euclidianas. Su propagador es:

${\displaystyle G(x)=\left\langle \varphi (x)\varphi (0)\right\rangle =\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\frac {e^{ik\cdot x}}{k^{2}+m^{2}}}.}$

Para m pequeño , G es una solución de la ecuación de Laplace con una fuente puntual:

${\displaystyle \nabla ^{2}G=\delta (x).}$

Esto se debe a que el propagador es el recíproco de ∇ ² en el espacio k . Para utilizar la ley de Gauss , defina el análogo del campo eléctrico como E = ∇ G. La divergencia del campo eléctrico es cero. En dos dimensiones, utilizando un anillo gaussiano grande:

${\displaystyle E={1 \over 2\pi r}.}$

De modo que la función G tiene una divergencia logarítmica tanto en r pequeño como en r grande .

${\displaystyle G(r)={1 \over 2\pi }\log(r)}$

La interpretación de la divergencia es que las fluctuaciones del campo no pueden permanecer centradas en torno a una media. Si se empieza en un punto en el que el campo tiene el valor 1, la divergencia indica que, a medida que se avanza más, el campo se aleja arbitrariamente del valor inicial. Esto hace que sea un poco complicado definir matemáticamente un campo escalar bidimensional sin masa. Si se define el campo mediante una simulación de Monte Carlo, no se mantiene en el mismo punto, sino que se desliza hacia valores infinitamente grandes con el tiempo.

Esto también ocurre en una dimensión, cuando el campo es un campo escalar unidimensional, un paseo aleatorio en el tiempo. Un paseo aleatorio también se mueve arbitrariamente lejos de su punto de partida, de modo que un escalar unidimensional o bidimensional no tiene un valor promedio bien definido.

Si el campo es un ángulo, θ , como en el modelo del sombrero mexicano , donde el campo complejo A = Re ^iθ tiene un valor esperado pero es libre de deslizarse en la dirección θ , el ángulo θ será aleatorio a grandes distancias. Este es el teorema de Mermin-Wagner: no hay ruptura espontánea de una simetría continua en dos dimensiones.

Transición del modelo XY

Si bien el teorema de Mermin-Wagner impide cualquier ruptura espontánea de simetría a escala global, se pueden permitir transiciones de ordenamiento del tipo Kosterlitz-Thouless . Este es el caso del modelo XY donde la simetría continua (interna) O (2) en una red espacial de dimensión d ≤ 2 , es decir, el valor esperado del campo (de espín), permanece cero para cualquier temperatura finita ( las transiciones de fase cuántica permanecen inalteradas). Sin embargo, el teorema no impide la existencia de una transición de fase en el sentido de una longitud de correlación divergente ξ . Para este fin, el modelo tiene dos fases: una fase desordenada convencional a alta temperatura con decaimiento exponencial dominante de la función de correlación para , y una fase de baja temperatura con un orden de cuasi-largo alcance donde G ( r ) decae de acuerdo a alguna ley de potencia para una distancia r "suficientemente grande", pero finita ( a ≪ r ≪ ξ con un espaciado reticular ) . ${\displaystyle G(r)\sim \exp(-r/\xi )}$ ${\displaystyle r/\xi \gg 1}$

Modelo de Heisenberg

Presentaremos una forma intuitiva ^[2] de entender el mecanismo que impide la ruptura de simetría en dimensiones bajas, mediante una aplicación al modelo de Heisenberg , que es un sistema de espines n -componentes S _i de longitud unitaria | S _i | = 1 , ubicados en los sitios de una red cuadrada d -dimensional, con acoplamiento de vecino más cercano J . Su hamiltoniano es

${\displaystyle H=-J\sum _{\left\langle {i,j}\right\rangle }\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {S} _{j}.}$

El nombre de este modelo proviene de su simetría rotacional. Considere el comportamiento a baja temperatura de este sistema y suponga que existe una simetría rota espontáneamente, es decir, una fase en la que todos los espines apuntan en la misma dirección, por ejemplo a lo largo del eje x . Entonces la simetría rotacional O ( n ) del sistema se rompe espontáneamente, o más bien se reduce a la simetría O ( n − 1) bajo rotaciones alrededor de esta dirección. Podemos parametrizar el campo en términos de fluctuaciones independientes alrededor de esta dirección de la siguiente manera: ${\displaystyle \{\sigma _{\alpha }:\alpha =1,\dots ,n-1\}}$

${\displaystyle \mathbf {S} =\left({\sqrt {1-\sum _{\alpha =1}^{n-1}\sigma _{\alpha }^{2}}},\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n-1}\right)}$

con | σ _α | ≪ 1 , y Taylor desarrolla el hamiltoniano resultante. Tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {S} _{j}&={\sqrt {\left(1-\sum _{\alpha }\sigma _{i\alpha }^{2}\right)\left(1-\sum _{\alpha }\sigma _{j\alpha }^{2}\right)}}+\sum _{\alpha }\sigma _{i\alpha }\sigma _{j\alpha }\\&=1-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha }^{2}+\sigma _{j\alpha }^{2}\right)+\sum _{\alpha }\sigma _{i\alpha }\sigma _{j\alpha }+{\mathcal {O}}\left(\sigma ^{4}\right)\\&=1-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha }-\sigma _{j\alpha }\right)^{2}+\ldots \end{aligned}}}$

De dónde

${\displaystyle H=H_{0}+{\tfrac {1}{2}}J\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha }-\sigma _{j\alpha }\right)^{2}+\cdots }$

Ignorando el término constante irrelevante H ₀ = − JNd y pasando al límite continuo , dado que estamos interesados ​​en la fase de baja temperatura donde dominan las fluctuaciones de longitud de onda larga, obtenemos

${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}J\int {\mathrm {d} ^{d}x\sum _{\alpha }{(\nabla \sigma _{\alpha })^{2}}}+\ldots .}$

Las fluctuaciones de campo σ _α se denominan ondas de espín y pueden reconocerse como bosones de Goldstone. De hecho, son n -1 en número y tienen masa cero, ya que no existe un término de masa en el hamiltoniano.

Para determinar si esta fase hipotética realmente existe, tenemos que comprobar si nuestra suposición es autoconsistente, es decir, si el valor esperado de la magnetización , calculado en este marco, es finito como se supone. Para ello, necesitamos calcular la corrección de primer orden de la magnetización debido a las fluctuaciones. Este es el procedimiento seguido en la derivación del conocido criterio de Ginzburg .

El modelo es gaussiano de primer orden y, por lo tanto, la función de correlación del espacio de momento es proporcional a k ⁻² . Por lo tanto, la función de correlación de dos puntos del espacio real para cada uno de estos modos es

${\displaystyle \left\langle \sigma _{\alpha }(r)\sigma _{\alpha }(0)\right\rangle ={\frac {1}{\beta J}}\int ^{\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}}}}$

donde a es el espaciamiento reticular. La magnetización media es

${\displaystyle \left\langle S_{1}\right\rangle =1-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left\langle \sigma _{\alpha }^{2}\right\rangle +\ldots }$

Y ahora la corrección de primer orden se puede calcular fácilmente:

${\displaystyle \sum _{\alpha }\left\langle \sigma _{\alpha }^{2}(0)\right\rangle =(n-1){\frac {1}{\beta J}}\int ^{\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{k^{2}}}.}$

La integral anterior es proporcional a

${\displaystyle \int ^{\frac {1}{a}}k^{d-3}\mathrm {d} k}$

y por lo tanto es finito para d > 2 , pero parece ser divergente para d ≤ 2 (logarítmicamente para d = 2 ).

Esta divergencia significa que las fluctuaciones σ _α son grandes, de modo que la expansión del parámetro | σ _α | ≪ 1 realizada anteriormente no es autoconsistente. Naturalmente, se puede esperar que, más allá de esa aproximación, la magnetización promedio sea cero.

Por lo tanto, concluimos que para d ≤ 2 nuestra suposición de que existe una fase de magnetización espontánea es incorrecta para todo T > 0 , porque las fluctuaciones son lo suficientemente fuertes como para destruir la ruptura espontánea de la simetría. Este es un resultado general:

Teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner. No existe fase con ruptura espontánea de una simetría continua para T > 0 , en d ≤ 2 dimensiones para un sistema infinito.

El resultado también puede extenderse a otras geometrías, como películas de Heisenberg con un número arbitrario de capas, así como a otros sistemas reticulares (modelo de Hubbard, modelo sf). ^[3]

Generalizaciones

En realidad, se pueden demostrar resultados mucho más contundentes que la ausencia de magnetización y la configuración puede ser sustancialmente más general. En particular ^{[ cita requerida ]} :

1. El hamiltoniano puede ser invariante bajo la acción de un grupo de Lie arbitrario, compacto y conexo G .
2. Se pueden permitir interacciones de largo alcance (siempre que decaigan lo suficientemente rápido y se conozcan las condiciones necesarias y suficientes).

En este contexto general, el teorema de Mermin-Wagner admite la siguiente forma fuerte (enunciada aquí de manera informal):

Todos los estados de Gibbs (de volumen infinito) asociados a este hamiltoniano son invariantes bajo la acción de G .

Cuando se abandona el supuesto de que el grupo de Lie es compacto, se obtiene un resultado similar, pero con la conclusión de que no existen estados de Gibbs de volumen infinito.

Por último, existen otras aplicaciones importantes de estas ideas y métodos, en particular la prueba de que no puede haber estados de Gibbs invariantes no translacionales en sistemas bidimensionales. Un ejemplo típico de ello sería la ausencia de estados cristalinos en un sistema de discos duros (con posibles interacciones atractivas adicionales).

Se ha demostrado, sin embargo, que las interacciones de tipo hard-core pueden conducir en general a violaciones del teorema de Mermin-Wagner.

Argumentos históricos

Ya en 1930, Felix Bloch argumentó, diagonalizando el determinante de Slater para los fermiones, que el magnetismo en 2D no debería existir. ^[4] Rudolf Peierls dio algunos argumentos sencillos, que se resumen a continuación, basados ​​en consideraciones entrópicas y energéticas. ^[5] Lev Landau también realizó algunos trabajos sobre la ruptura de la simetría en dos dimensiones. ^[6]

Argumento enérgico

El esquema muestra una cadena de dipolos magnéticos en orden antiferromagnético. Los dipolos pueden girar en un plano perpendicular al eje y están representados en el modo de excitación más bajo. El ángulo entre dipolos vecinos es , la longitud de la cadena es L. ${\displaystyle \gamma }$

Una razón para la falta de ruptura de la simetría global es que uno puede excitar fácilmente fluctuaciones de longitud de onda larga que destruyen el orden perfecto. "Fácilmente excitado" significa que la energía para esas fluctuaciones tiende a cero para sistemas lo suficientemente grandes. Consideremos un modelo magnético (por ejemplo, el modelo XY en una dimensión). Es una cadena de momentos magnéticos de longitud . Consideramos la aproximación armónica, donde las fuerzas (torque) entre momentos vecinos aumentan linealmente con el ángulo de torsión . Esto implica que la energía debido a la torsión aumenta cuadráticamente . La energía total es la suma de todos los pares trenzados de momentos magnéticos . Si uno considera el modo excitado con la energía más baja en una dimensión (ver figura), entonces los momentos en la cadena de longitud están inclinados a lo largo de la cadena. El ángulo relativo entre momentos vecinos es el mismo para todos los pares de momentos en este modo e igual a , si la cadena consiste en momentos magnéticos. Se deduce que la energía total de este modo más bajo es . Disminuye con el aumento del tamaño del sistema y tiende a cero en el límite termodinámico , , Para sistemas arbitrariamente grandes se deduce que los modos más bajos no cuestan ninguna energía y se excitarán térmicamente. Simultáneamente, el orden de largo alcance se destruye en la cadena. En dos dimensiones (o en un plano), el número de momentos magnéticos es proporcional al área del plano . La energía para el modo excitado más bajo es entonces , que tiende a una constante en el límite termodinámico. Por lo tanto, los modos se excitarán a temperaturas suficientemente grandes. En tres dimensiones, el número de momentos magnéticos es proporcional al volumen y la energía del modo más bajo es . Diverge con el tamaño del sistema y, por lo tanto, no se excitará para sistemas lo suficientemente grandes. El orden de largo alcance no se ve afectado por este modo y se permite la ruptura de la simetría global. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle E_{i}\propto \gamma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle E_{ges}\propto \sum _{i}\gamma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \gamma _{i}=\pi /N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E_{ges}\propto N\cdot \gamma _{i}^{2}=N{\frac {\pi ^{2}}{N^{2}}}\propto L{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ ${\displaystyle \propto 1/L}$ ${\displaystyle L\to \infty }$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle L/N={\text{const.}}}$ ${\displaystyle N\propto L^{2}}$ ${\displaystyle E_{ges}\propto N^{2}\cdot \gamma _{i}^{2}\propto L^{2}{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ ${\displaystyle V=L^{3}}$ ${\displaystyle E_{ges}\propto N^{3}\cdot \gamma _{i}^{2}\propto L^{3}{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}$

Argumento entrópico

Sólo hay un camino entre partículas vecinas en una dimensión, dos caminos en dos dimensiones y seis caminos diferentes en tres dimensiones.

Un argumento entrópico contra el orden perfecto de largo alcance en cristales con es el siguiente (ver figura): considere una cadena de átomos/partículas con una distancia promedio entre partículas de . Las fluctuaciones térmicas entre partícula y partícula conducirán a fluctuaciones de la distancia promedio entre partículas del orden de , por lo tanto, la distancia viene dada por . Las fluctuaciones entre partícula y serán del mismo tamaño: . Suponemos que las fluctuaciones térmicas son estadísticamente independientes (lo que es evidente si consideramos solo la interacción del vecino más cercano) y las fluctuaciones entre y partícula (con el doble de distancia) deben sumarse de manera estadísticamente independiente (o incoherente): . Para partículas N veces la distancia promedio, las fluctuaciones aumentarán con la raíz cuadrada si las fluctuaciones vecinas se suman independientemente. Aunque la distancia promedio está bien definida, las desviaciones de una cadena periódica perfecta aumentan con la raíz cuadrada del tamaño del sistema. En tres dimensiones, uno tiene que caminar a lo largo de tres direcciones linealmente independientes para cubrir todo el espacio; en un cristal cúbico, esto es efectivamente a lo largo de la diagonal espacial, para llegar de partícula a partícula . Como se puede ver fácilmente en la figura, hay seis posibilidades diferentes para hacer esto. Esto implica que las fluctuaciones en las seis vías diferentes no pueden ser estadísticamente independientes, ya que pasan las mismas partículas en la posición y . Ahora, las fluctuaciones de las seis vías diferentes tienen que sumarse de manera coherente y serán del orden de – independientemente del tamaño del cubo. Las fluctuaciones permanecen finitas y los sitios de la red están bien definidos. Para el caso de dos dimensiones, Herbert Wagner y David Mermin han demostrado rigurosamente que las distancias de las fluctuaciones aumentan logarítmicamente con el tamaño del sistema . Esto se denomina frecuentemente divergencia logarítmica de desplazamientos. ${\displaystyle D<3}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \xi _{0,1}}$ ${\displaystyle a=\langle a\rangle \pm \xi _{0,1}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |\xi _{-1,0}|=|\xi _{0,1}|}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \xi _{-1,1}={\sqrt {2}}\cdot \xi _{0,1}}$ ${\displaystyle \xi _{0,N}={\sqrt {N}}\cdot \xi _{0,1}}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi \propto \ln(L)}$

Cristales en 2D

Diagrama de x-tal 2D con fluctuaciones térmicas de las posiciones de las partículas. Las líneas rojas simbolizan el eje reticular y las flechas verdes simbolizan las desviaciones de las posiciones de equilibrio.

La imagen muestra un cristal (cuasi) bidimensional de partículas coloidales. Se trata de partículas de tamaño micrométrico dispersas en agua y sedimentadas en una interfaz plana, por lo que pueden realizar movimientos brownianos solo dentro de un plano. El orden cristalino séxtuple es fácil de detectar a escala local, ya que el aumento logarítmico de los desplazamientos es bastante lento. Las desviaciones con respecto al eje reticular (rojo) también son fáciles de detectar, y se muestran aquí como flechas verdes. Las desviaciones se dan básicamente por las vibraciones reticulares elásticas (fonones acústicos). Una prueba experimental directa de las fluctuaciones de Hohenberg-Mermin-Wagner sería si los desplazamientos aumentaran logarítmicamente con la distancia de un marco de coordenadas ajustado localmente (azul). Esta divergencia logarítmica va acompañada de una descomposición algebraica (lenta) de las correlaciones posicionales. El orden espacial de un cristal 2D se denomina cuasi-largo alcance (véase también la fase hexática para el comportamiento de fase de los conjuntos 2D). Curiosamente, no se han encontrado firmas significativas de fluctuaciones de Hohenberg-Mermin-Wagner en cristales, sino en sistemas amorfos desordenados. ^{[7] [8] [9]}

Este trabajo no investigó los desplazamientos logarítmicos de los sitios de la red (que son difíciles de cuantificar para un tamaño de sistema finito), sino la magnitud del desplazamiento cuadrático medio de las partículas en función del tiempo. De esta manera, los desplazamientos no se analizan en el espacio sino en el dominio del tiempo. El trasfondo teórico está dado por D. Cassi, así como por F. Merkl y H. Wagner. ^{[10] [11]} Este trabajo analiza la probabilidad de recurrencia de los paseos aleatorios y la ruptura espontánea de la simetría en varias dimensiones. La probabilidad de recurrencia finita de un paseo aleatorio en una y dos dimensiones muestra un dualismo ante la falta de un orden perfecto de largo alcance en una y dos dimensiones, mientras que la probabilidad de recurrencia que se desvanece de un paseo aleatorio en 3D es dual ante la existencia de un orden perfecto de largo alcance y la posibilidad de ruptura de la simetría.

Límites

Los imanes reales no suelen tener una simetría continua, ya que el acoplamiento espín-órbita de los electrones impone una anisotropía. Para sistemas atómicos como el grafeno, se puede demostrar que se necesitan monocapas de tamaño cosmológico (o al menos continental) para medir un tamaño significativo de las amplitudes de las fluctuaciones. ^[12] Bertrand Halperin ofrece una discusión reciente sobre los teoremas de Hohenberg-Mermin-Wagner y sus limitaciones en el límite termodinámico. ^[13] Más recientemente, se demostró que la limitación física más severa son los efectos de tamaño finito en 2D, porque la supresión debido a las fluctuaciones infrarrojas es solo logarítmica en tamaño: la muestra tendría que ser más grande que el universo observable para que se suprima una transición superconductora 2D por debajo de ~100 K. ^[14] Para el magnetismo, existe un comportamiento similar donde el tamaño de la muestra debe aproximarse al tamaño del universo para tener una temperatura de Curie T _c en el rango mK. ^[15] Sin embargo, debido a que el desorden y el acoplamiento entre capas compiten con los efectos de tamaño finito para restablecer el orden, no se puede decir a priori cuál de ellos es responsable de la observación del ordenamiento magnético en una muestra 2D dada. ^[16]

Observaciones

La discrepancia entre el teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner (que descarta el orden de largo alcance en 2D) y las primeras simulaciones por ordenador (Alder&Wainwright), que indicaban la cristalización en 2D, motivó a J. Michael Kosterlitz y David J. Thouless a trabajar en transiciones de fase topológicas en 2D. Este trabajo recibió el Premio Nobel de Física 2016 (junto con Duncan Haldane ).

Véase también

• Teorema de Elitzur

Notas

1. Halperin, Bertrand I. (2019). "Sobre el teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner y sus limitaciones". Revista de física estadística . 175 (3–4): 521–529. arXiv : 1812.00220 . doi :10.1007/s10955-018-2202-y. ISSN  0022-4715.
2. ver Cardy (2002)
3. Véase Gelfert y Nolting (2001).
4. Bloch, F (1 de febrero de 1930). "Zur Theorie des Ferromagnetismus". Zeitschrift für Physik . 61 (3–4): 206–219. Código Bib : 1930ZPhy...61..206B. doi :10.1007/bf01339661. S2CID  120459635.
5. Peierls, RE (1934). "Bemerkungen über Umwandlungtemperaturen". Helv. Física. Acta . 7 : 81. doi : 10.5169/sellos-110415.
6. Landau, LD "Teoría de las transformaciones de fase II". Phys. Z. Sowjetunion . 11 : 545.
7. Shiba, H.; Yamada, Y.; Kawasaki, T.; Kim, K. (2016). "Revelando la dependencia de la dimensionalidad de la dinámica vítrea: la fluctuación infinita 2D eclipsa la relajación estructural inherente". Physical Review Letters . 117 (24): 245701. arXiv : 1510.02546 . Código Bibliográfico :2016PhRvL.117x5701S. doi :10.1103/PhysRevLett.117.245701. PMID  28009193. S2CID  30893052.
8. Vivek, S.; Kelleher, CP; Chaikin, PM; Weeks, ER (2017). "Fluctuaciones de longitud de onda larga y la transición vítrea en dos dimensiones y tres dimensiones". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 114 (8): 1850–1855. arXiv : 1604.07338 . Bibcode :2017PNAS..114.1850V. doi : 10.1073/pnas.1607226113 . PMC 5338427 . PMID  28137847. 
9. Illing, B.; Fritschi, S.; Kaiser, H.; Klix, CL; Maret, G.; Keim, P. (2017). "Fluctuaciones de Mermin-Wagner en sólidos amorfos 2D". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 114 (8): 1856–1861. Bibcode :2017PNAS..114.1856I. doi : 10.1073/pnas.1612964114 . PMC 5338416 . PMID  28137872. 
10. Cassi, D. (1992). "Transiciones de fase y recorridos aleatorios en grafos: una generalización del teorema de Mermin-Wagner a redes desordenadas, fractales y otras estructuras discretas". Physical Review Letters . 68 (24): 3631–3634. Bibcode :1992PhRvL..68.3631C. doi :10.1103/PhysRevLett.68.3631. PMID  10045753.
11. Merkl, F.; Wagner, H. (1994). "Paseos aleatorios recurrentes y ausencia de ruptura continua de simetría en grafos". Journal of Statistical Physics . 75 (1): 153–165. Bibcode :1994JSP....75..153M. doi :10.1007/bf02186284. S2CID  120429502.
12. Thompson-Flagg, RC; Moura, MJB; Marder, M. (2009). "Ondulación del grafeno". EPL . 85 (4): 46002. arXiv : 0807.2938 . Bibcode :2009EL.....8546002T. doi :10.1209/0295-5075/85/46002. S2CID  119024976.
13. Halperin, BI (2019). "Sobre el teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner y sus limitaciones". Journal of Statistical Physics . 175 (3–4): 521–529. arXiv : 1812.00220 . Código Bibliográfico :2019JSP...175..521H. doi :10.1007/s10955-018-2202-y. S2CID  119512932.
14. Palle, G.; Sunko, DK (2021). "Limitaciones físicas del teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 54 (31): 315001. arXiv : 2107.09714 . Código Bibliográfico :2021JPhA...54E5001P. doi :10.1088/1751-8121/ac0a9d. S2CID  235719970.
15. Jenkins, S.; Rózsa, L.; Atxitia, U.; Evans, RFL; Novoselov, K.; EJG, Santos (2022). "Rompiendo el límite de Mermin-Wagner en imanes de van der Waals 2D". Nature Communications . 13 (1): 6917. arXiv : 2210.04830 . doi :10.1038/s41467-022-34389-0. PMC 9663506 . PMID  36376290. 
16. Palle, G.; Sunko, DK (2021). "Limitaciones físicas del teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 54 (31): 315001. arXiv : 2107.09714 . Código Bibliográfico :2021JPhA...54E5001P. doi :10.1088/1751-8121/ac0a9d. S2CID  235719970.

Referencias

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• Mermin, ND; Wagner, H. (1966), "Ausencia de ferromagnetismo o antiferromagnetismo en modelos isotrópicos de Heisenberg unidimensionales o bidimensionales", Phys. Rev. Lett. , 17 (22): 1133–1136, Bibcode :1966PhRvL..17.1133M, doi :10.1103/PhysRevLett.17.1133
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