Berezinskii-Kosterlitz-Transición sin gracia

Transición de fase en el modelo XY bidimensional (2-D)

La transición Berezinskii-Kosterlitz-Thouless ( BKT ) es una transición de fase del modelo XY bidimensional (2-D) en física estadística . Es una transición de pares vórtice-antivórtice unidos a bajas temperaturas a vórtices y antivórtices no apareados a alguna temperatura crítica. La transición lleva el nombre de los físicos de materia condensada Vadim Berezinskii , John M. Kosterlitz y David J. Thouless . ^[1] Las transiciones BKT se pueden encontrar en varios sistemas 2-D en la física de la materia condensada que se aproximan mediante el modelo XY, incluidos los conjuntos de uniones Josephson y las películas granulares superconductoras delgadas y desordenadas. ^[2] Más recientemente, el término ha sido aplicado por la comunidad de transición de aisladores superconductores 2-D a la fijación de pares de Cooper en el régimen aislante, debido a similitudes con la transición de vórtice BKT original.

El trabajo sobre la transición llevó a que en 2016 se concediera el Premio Nobel de Física a Thouless y Kosterlitz; Berezinski murió en 1980.

modelo XY

El modelo XY es un modelo de espín vectorial bidimensional que posee simetría U(1) o circular. No se espera que este sistema posea una transición de fase normal de segundo orden . Esto se debe a que la fase ordenada esperada del sistema es destruida por fluctuaciones transversales, es decir, los modos Nambu-Goldstone asociados con esta simetría continua rota , que divergen logarítmicamente con el tamaño del sistema. Este es un caso específico de lo que se llama teorema de Mermin-Wagner en sistemas de espín.

La transición no se comprende completamente con rigor, pero McBryan y Spencer (1977) y Fröhlich y Spencer (1981) demostraron la existencia de dos fases.

Fases desordenadas con diferentes correlaciones.

En el modelo XY en dos dimensiones no se observa una transición de fase de segundo orden. Sin embargo, se encuentra una fase casi ordenada de baja temperatura con una función de correlación (ver mecánica estadística ) que disminuye con la distancia como una potencia, que depende de la temperatura. La transición de la fase desordenada de alta temperatura con correlación exponencial a esta fase cuasi ordenada de baja temperatura es una transición de Kosterlitz-Thouless. Es una transición de fase de orden infinito.

Papel de los vórtices

En el modelo XY 2-D, los vórtices son configuraciones topológicamente estables. Se encuentra que la fase desordenada de alta temperatura con decadencia de correlación exponencial es el resultado de la formación de vórtices. La generación de vórtices se vuelve termodinámicamente favorable a la temperatura crítica de la transición Kosterlitz-Thouless. A temperaturas inferiores a esta, la generación de vórtices tiene una correlación de ley de potencia. ${\displaystyle T_{c}}$

Las transiciones de Kosterlitz-Thouless se describen como una disociación de pares de vórtices unidos con circulaciones opuestas, llamados pares vórtice-antivórtice, descritos por primera vez por Vadim Berezinskii . En estos sistemas, la generación térmica de vórtices produce un número par de vórtices de signo opuesto. Los pares vórtice-antivórtice unidos tienen energías más bajas que los vórtices libres, pero también tienen una entropía más baja. Para minimizar la energía libre, el sistema sufre una transición a una temperatura crítica . A continuación , solo hay pares vórtice-antivórtice unidos. Arriba , hay vórtices libres. ${\displaystyle F=E-TS}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle T_{c}}$

descripción informal

Existe un elegante argumento termodinámico a favor de la transición Kosterlitz-Thouless. La energía de un solo vórtice es , donde es un parámetro que depende del sistema en el que se encuentra el vórtice, es el tamaño del sistema y es el radio del núcleo del vórtice. Se supone . En el sistema 2D, el número de posiciones posibles de un vórtice es aproximadamente . De la fórmula de entropía de Boltzmann , (siendo W el número de estados), la entropía es , donde es la constante de Boltzmann . Por tanto, la energía libre de Helmholtz es ${\displaystyle \kappa \ln(R/a)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R\gg a}$ ${\displaystyle (R/a)^{2}}$ ${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln W}$ ${\displaystyle S=2k_{\rm {B}}\ln(R/a)}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$

${\displaystyle F=E-TS=(\kappa -2k_{\rm {B}}T)\ln(R/a).}$

Cuando , el sistema no tendrá vórtice. Por otro lado, cuando , las consideraciones entrópicas favorecen la formación de un vórtice. La temperatura crítica por encima de la cual se pueden formar vórtices se puede encontrar estableciendo y viene dada por ${\displaystyle F>0}$ ${\displaystyle F<0}$ ${\displaystyle F=0}$

${\displaystyle T_{c}={\frac {\kappa }{2k_{\rm {B}}}}.}$

La transición Kosterlitz-Thouless se puede observar experimentalmente en sistemas como los conjuntos de conexiones 2D Josephson tomando medidas de corriente y voltaje (IV). Arriba , la relación será lineal . Justo debajo , la relación será , ya que el número de vórtices libres será como . Este salto desde la dependencia lineal es indicativo de una transición de Kosterlitz-Thouless y puede usarse para determinar . Este enfoque fue utilizado en Resnick et al. ^{[3] para confirmar la transición Kosterlitz-Thouless en conjuntos} de uniones Josephson acopladas por proximidad . ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle V\sim I}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle V\sim I^{3}}$ ${\displaystyle I^{2}}$ ${\displaystyle T_{c}}$

Análisis teórico de campo.

La siguiente discusión utiliza métodos de teoría de campo. Supongamos un campo φ(x) definido en el plano que toma valores en , de modo que se identifica con . Es decir, el círculo se realiza como . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)+2\pi }$ ${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

La energía está dada por

${\displaystyle E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi \cdot \nabla \phi \,d^{2}x}$

y el factor de Boltzmann es . ${\displaystyle \exp(-\beta E)}$

Tomando una integral de contorno sobre cualquier camino cerrado contráctil , esperaríamos que fuera cero (por ejemplo, según el teorema fundamental del cálculo . Sin embargo, este no es el caso debido a la naturaleza singular de los vórtices (que dan singularidades en ). ${\displaystyle \oint _{\gamma }d\phi =\oint _{\gamma }{\frac {d\phi }{dx}}dx}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \phi }$

Para que la teoría esté bien definida, solo se define hasta alguna escala de corte energético , de modo que podamos perforar el plano en los puntos donde se encuentran los vórtices, eliminando regiones con un tamaño de orden . Si se gira una vez en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de un pinchazo, la integral del contorno es un múltiplo entero de . El valor de este número entero es el índice del campo vectorial . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle 1/\Lambda }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \oint _{\gamma }d\phi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \nabla \phi }$

Supongamos que una configuración de campo determinada tiene pinchazos ubicados en cada uno con índice . Luego, se descompone en la suma de una configuración de campo sin perforaciones, y , donde hemos cambiado a las coordenadas del plano complejo por conveniencia. La función de argumento complejo tiene un corte de rama, pero, debido a que está definida en módulo , no tiene consecuencias físicas. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{i},i=1,\dots ,N}$ ${\displaystyle n_{i}=\pm 1}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{0}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}\arg(z-z_{i})}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Ahora,

${\displaystyle E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi _{0}\cdot \nabla \phi _{0}\,d^{2}x+\sum _{1\leq i<j\leq N}n_{i}n_{j}\int {\frac {1}{2}}\nabla \ \arg(z-z_{i})\cdot \nabla \arg(z-z_{j})\,d^{2}x}$

Si , el segundo término es positivo y diverge en el límite : las configuraciones con números desequilibrados de vórtices de cada orientación nunca se ven favorecidas energéticamente. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \Lambda \to \infty }$

Sin embargo, si se cumple la condición neutral , el segundo término es igual a , que es la energía potencial total de un gas de Coulomb bidimensional . La escala L es una escala arbitraria que hace que el argumento del logaritmo sea adimensional. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}=0}$ ${\displaystyle -2\pi \sum _{1\leq i<j\leq N}n_{i}n_{j}\ln(|x_{j}-x_{i}|/L)}$

Supongamos el caso con sólo vórtices de multiplicidad . A temperaturas bajas y grandes la distancia entre un par de vórtice y antivórtice tiende a ser extremadamente pequeña, esencialmente del orden . A temperaturas grandes y pequeñas esta distancia aumenta, y la configuración favorecida pasa a ser efectivamente la de un gas de vórtices y antivórtices libres. La transición entre las dos configuraciones diferentes es la transición de fase Kosterlitz-Thouless, y el punto de transición está asociado con una desvinculación de pares vórtice-antivórtice. ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1/\Lambda }$ ${\displaystyle \beta }$

Ver también

• Teoría KTHNY
• bosón de piedra dorada
• Fermión compuesto
• transición lambda
• modelo ising
• modelo potts
• defecto topológico
• Vórtice cuántico
• película superfluida
• Fase hexática

Notas

1. Kosterlitz, JM; Sin embargo, DJ (noviembre de 1972). "Ordenamiento, metaestabilidad y transiciones de fase en sistemas bidimensionales". Revista de Física C: Física del Estado Sólido . 6 (7): 1181-1203. Código bibliográfico : 1973JPhC....6.1181K. doi :10.1088/0022-3719/6/7/010. ISSN  0022-3719.
2. Tinkham, Michael (1906). Introducción a la superconductividad (2. ed.). Mineola, Nueva York: Dover Publications, INC. págs. ISBN 0486435032.
3. Resnick y col. 1981.

Referencias

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• Березинский, В. Л. (1971), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симетрии II. Квантовые SISTEMы", ЭТФ (en ruso), 61 (3): 1144-1156. Traducción disponible: Berezinskii, VL (1972), "Destrucción del orden de largo alcance en sistemas unidimensionales y bidimensionales que tienen un grupo de simetría continua II. Sistemas cuánticos" (PDF) , Sov. Física. JETP , 34 (3): 610–616, Código Bib :1972JETP...34..610B
• Kosterlitz, JM; Thouless, DJ (1973), "Ordenamiento, metaestabilidad y transiciones de fase en sistemas bidimensionales", Journal of Physics C: Solid State Physics , 6 (7): 1181–1203, Bibcode :1973JPhC....6.1181K, doi :10.1088/0022-3719/6/7/010
• McBryan, O.; Spencer, T. (1977), "Sobre la decadencia de las correlaciones en ferroimanes simétricos SO (n)", Commun. Matemáticas. Física. , 53 (3): 299, Código Bib :1977CMaPh..53..299M, doi :10.1007/BF01609854, S2CID  119587247
• BI Halperin , DR Nelson , Phys. Rev. Lett. 41, 121 (1978)
• AP Young, Phys. Rev. B 19, 1855 (1979)
• Resnick, DJ; Guirnalda, JC; Boyd, JT; Zapatero, S.; Newrock, RS (1981), "Transición sin compasión de Kosterlitz en matrices superconductoras acopladas por proximidad", Phys. Rev. Lett. , 47 (21): 1542, Bibcode :1981PhRvL..47.1542R, doi :10.1103/PhysRevLett.47.1542
• Fröhlich, Jürg; Spencer, Thomas (1981), "La transición Kosterlitz-Thouless en sistemas de espín abelianos bidimensionales y el gas de Coulomb", Comm. Matemáticas. Física. , 81 (4): 527–602, Bibcode :1981CMaPh..81..527F, doi :10.1007/bf01208273, S2CID  73555642
• Z. Hadzibabic; et al. (2006), "Berezinskii-Kosterlitz-Thouless crossover en un gas atómico atrapado", Nature , 41 (7097): 1118–21, arXiv : cond-mat/0605291 , Bibcode :2006Natur.441.1118H, doi :10.1038/nature04851, PMID  16810249, S2CID  4314014
• el señor mondal; et al. (2011), "Papel de la energía del núcleo del vórtice en la transición Beresinkii-Kosterlitz-Thouless en películas delgadas de NbN", Phys. Rev. Lett. , 107 (21): 217003, arXiv : 1108.0912 , Bibcode : 2011PhRvL.107u7003M, doi : 10.1103/PhysRevLett.107.217003, PMID  22181915, S2CID  34729666

Libros

• JV Jose, 40 años de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Theory , World Scientific , 2013, ISBN 978-981-4417-65-5 
• H. Kleinert , Campos de calibre en materia condensada , vol. I, "SUPERFLOW AND VORTEX LINES", págs. 1–742, World Scientific (Singapur, 1989); Tapa blanda ISBN 9971-5-0210-0 (también disponible en línea: Vol. I. Leer págs. 618–688); 
• H. Kleinert , Campos multivalor en materia condensada, electrodinámica y gravitación , World Scientific (Singapur, 2008) (también disponible en línea: aquí)