Cuando era joven asistió a la Leeds Modern School y luego se graduó en la Leeds College of Art antes de comenzar a actuar en el escenario profesionalmente.
Así Peck actuó para la Royal Shakespeare Company y el National Theatre junto con actores como Ian McKellen.
En Gran Bretaña fue mejor conocido por su papel en la serie de televisión de 1985, Edge of Darknesss (1985), por el que recibió dos premios, y a nivel internacional, dejó su huella protagonizando a Robert Muldoon, un guardabosques en la película famosa y taquillera Parque Jurásico (1993) de Steven Spielberg.
Durante todo ese tiempo Peck fue conocido como un actor muy adaptable y se ganó de esa manera el respeto de sus colegas.
Fue incinerado y las cenizas entregadas a su familia.