Congruencia Ankeny-Artin-Chowla

Se refiere al número de clase de un campo cuadrático real de discriminante > 0

En teoría de números , la congruencia Ankeny–Artin–Chowla es un resultado publicado en 1953 por NC Ankeny , Emil Artin y S. Chowla . Se refiere al número de clase  h de un cuerpo cuadrático real de discriminante d  > 0. Si la unidad fundamental del cuerpo es

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {t+u{\sqrt {d}}}{2}}}$

con números enteros t y  u , se expresa en otra forma

${\displaystyle {\frac {ht}{u}}{\pmod {p}}\;}$

Para cualquier número primo p  > 2 que divida  a d . En el caso de p  > 3 se afirma que

${\displaystyle -2{mht \over u}\equiv \sum _{0<k<d}{\chi (k) \over k}\lfloor {k/p}\rfloor {\pmod {p}}}$

donde   y     es el carácter de Dirichlet para el cuerpo cuadrático. Para p  = 3 hay un factor (1 +  m ) que multiplica el LHS . Aquí ${\displaystyle m={\frac {d}{p}}\;}$ ${\displaystyle \chi \;}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

representa la función suelo de  x .

Un resultado relacionado es que si d=p es congruente con uno módulo cuatro, entonces

${\displaystyle {u \over t}h\equiv B_{(p-1)/2}{\pmod {p}}}$

donde B _n es el n- ésimo número de Bernoulli .

Hay algunas generalizaciones de estos resultados básicos en los artículos de los autores.

Véase también

• Teorema de Herbrand-Ribet , similar para grupos de clases ideales de campos ciclotómicos .

Referencias

• Ankeny, NC ; Artin, E. ; Chowla, S. (1952), "El número de clase de cuerpos de números cuadráticos reales" (PDF) , Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 56 (3): 479–493, doi :10.2307/1969656, JSTOR  1969656, MR  0049948