Geometría algebraica de espacios proyectivos

El concepto de espacio proyectivo desempeña un papel central en la geometría algebraica . Este artículo tiene como objetivo definir la noción en términos de geometría algebraica abstracta y describir algunos usos básicos de los espacios proyectivos.

Ideales polinomiales homogéneos

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado y V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k . El álgebra simétrica del espacio vectorial dual V* se denomina anillo polinomial sobre V y se denota por k [ V ]. Es un álgebra graduada naturalmente por el grado de los polinomios.

El Nullstellensatz proyectivo establece que, para cualquier ideal homogéneo I que no contenga todos los polinomios de un cierto grado (denominado ideal irrelevante ), el lugar geométrico cero común de todos los polinomios en I (o Nullstelle ) no es trivial (es decir, el lugar geométrico cero común contiene más que el único elemento {0}) y, más precisamente, el ideal de los polinomios que se desvanecen en ese lugar geométrico coincide con el radical del ideal I.

Esta última afirmación se resume mejor con la fórmula: para cualquier ideal relevante I ,

${\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I))={\sqrt {I}}.}$

En particular, los ideales homogéneos máximos relevantes de k [ V ] son ​​biunívocos con las líneas que pasan por el origen de V .

Construcción de esquemas proyectivizados

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo k . El esquema sobre k definido por Proj ( k [ V ]) se denomina proyectivización de V. El n -espacio proyectivo sobre k es la proyectivización del espacio vectorial . ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+1}}$

La definición del haz se realiza sobre la base de conjuntos abiertos de conjuntos abiertos principales  D ( P ), donde P varía sobre el conjunto de polinomios homogéneos, fijando las secciones

${\displaystyle \Gamma (D(P),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)})}$

ser el anillo , el componente de grado cero del anillo obtenido por localización en P . Sus elementos son por tanto las funciones racionales con numerador homogéneo y alguna potencia de P como denominador, con el mismo grado que el numerador. ${\displaystyle (k[V]_{P})_{0}}$

La situación es más clara en una forma lineal no nula φ. La restricción del haz de estructura al conjunto abierto D (φ) se identifica entonces canónicamente ^{[nota 1]} con el esquema afín spec( k [ker φ]). Puesto que D ( φ ) forma una cubierta abierta de X, se puede pensar que los esquemas proyectivos se obtienen mediante el pegado a través de la proyectivización de esquemas afines isomorfos.

Se puede observar que el anillo de secciones globales de este esquema es un cuerpo, lo que implica que el esquema no es afín. Dos conjuntos abiertos cualesquiera se intersecan de manera no trivial: es decir, el esquema es irreducible . Cuando el cuerpo k es algebraicamente cerrado , es de hecho una variedad abstracta , que además es completa. cf. Glosario de teoría de esquemas ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

Divisores y poleas torsionadoras

La construcción Proj de hecho proporciona más que un mero esquema: en el proceso se define un haz en módulos graduados sobre el haz de estructura. Los componentes homogéneos de este haz graduado se denominan haces de torsión de Serre . Todos estos haces son, de hecho, fibrados lineales . Por la correspondencia entre divisores de Cartier y fibrados lineales, el primer haz de torsión es equivalente a divisores de hiperplano. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Como el anillo de polinomios es un dominio de factorización único , cualquier ideal primo de altura 1 es principal , lo que demuestra que cualquier divisor de Weil es linealmente equivalente a alguna potencia de un divisor de hiperplano. Esta consideración prueba que el grupo de Picard de un espacio proyectivo está libre de rango 1. Es decir , y el isomorfismo está dado por el grado de los divisores. ${\displaystyle \mathrm {Pic} \ \mathbf {P} _{\mathbf {k} }^{n}=\mathbb {Z} }$

Clasificación de los haces vectoriales

Los haces invertibles , o fibrados lineales , en el espacio proyectivo para un campo k , son exactamente los haces torsionantes , por lo que el grupo de Picard de es isomorfo a . El isomorfismo está dado por la primera clase de Chern . ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n},\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\ m\in \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El espacio de secciones locales sobre un conjunto abierto del fibrado lineal es el espacio de funciones regulares homogéneas de grado k sobre el cono en V asociado a U . En particular, el espacio de secciones globales ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {P} (V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$

${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ,{\mathcal {O}}(m))}$

se desvanece si m < 0, y consta de constantes en k para m = 0 y de polinomios homogéneos de grado m para m > 0. (Por lo tanto tiene dimensión ). ${\textstyle {\binom {m+n}{m}}={\binom {m+n}{n}}}$

El teorema de Birkhoff-Grothendieck establece que en la línea proyectiva, cualquier fibrado vectorial se divide de manera única como una suma directa de los fibrados de la línea.

Paquetes de líneas importantes

El fibrado tautológico , que aparece por ejemplo como divisor excepcional de la explosión de un punto liso, es el haz . El fibrado canónico ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {P} _{k}^{n}),\,}$es . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-(n+1))}$

Este hecho se deriva de un enunciado geométrico fundamental sobre los espacios proyectivos: la sucesión de Euler .

La negatividad del fibrado lineal canónico hace que los espacios proyectivos sean ejemplos principales de variedades de Fano , equivalentemente, su fibrado lineal anticanónico es amplio (de hecho, muy amplio). Su índice ( cf. variedades de Fano ) está dado por , y, por un teorema de Kobayashi-Ochiai, los espacios proyectivos se caracterizan entre las variedades de Fano por la propiedad ${\displaystyle \mathrm {Ind} (\mathbb {P} ^{n})=n+1}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)=\dim X+1.}$

Morfismos a esquemas proyectivos

Así como los espacios afines pueden integrarse en espacios proyectivos, todas las variedades afines también pueden integrarse en espacios proyectivos.

Cualquier elección de un sistema finito de secciones globales no simultáneas de un fibrado lineal generado globalmente define un morfismo en un espacio proyectivo. Un fibrado lineal cuya base puede ser embebida en un espacio proyectivo por medio de dicho morfismo se denomina muy amplio .

El grupo de simetrías del espacio proyectivo es el grupo de automorfismos lineales proyectivos . La elección de un morfismo para un espacio proyectivo módulo la acción de este grupo es de hecho equivalente a la elección de un sistema lineal n -dimensional globalmente generador de divisores en un fibrado lineal en X. La elección de una incrustación proyectiva de X , módulo transformaciones proyectivas es asimismo equivalente a la elección de un fibrado lineal muy amplio en X. ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbf {k} }^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle j:X\to \mathbf {P} ^{n}}$

Un morfismo de un espacio proyectivo define un fibrado lineal generado globalmente por y un sistema lineal ${\displaystyle j:X\to \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle j^{*}{\mathcal {O}}(1)}$

${\displaystyle j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))\subset \Gamma (X,j^{*}{\mathcal {O}}(1)).}$

Si el rango del morfismo no está contenido en un divisor de hiperplano, entonces el pull-back es una inyección y el sistema lineal de divisores ${\displaystyle j}$

${\displaystyle j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))}$es un sistema lineal de dimensión n .

Un ejemplo: las incrustaciones veronesas

Las incrustaciones veronesas son incrustaciones para ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{N}}$ ${\textstyle N={\binom {n+d}{d}}-1}$

Consulte la respuesta en MathOverflow para una aplicación de la incrustación de Veronese al cálculo de grupos de cohomología de hipersuperficies proyectivas suaves (divisores suaves).

Curvas en espacios proyectivos

Como variedades de Fano, los espacios proyectivos son variedades regladas . La teoría de intersección de curvas en el plano proyectivo produce el teorema de Bézout .

Véase también

Geometría algebraica general

• Esquema (matemáticas)
• Variedad proyectiva
• Proyecto de construcción

Geometría proyectiva general

• Espacio proyectivo
• Geometría proyectiva
• Polinomio homogéneo

Notas

1. En coordenadas esta correspondencia viene dada por ${\displaystyle {\frac {P(X_{0},\ldots ,X_{n})}{X_{0}^{\deg(P)}}}\mapsto P(1,X_{1},\ldots ,X_{n})}$

Referencias

• Robin Hartshorne (1977). Geometría algebraica . Springer-Verlag . ISBN. 0-387-90244-9.