Esquema de estructuras algebraicas

En matemáticas se estudian muchos tipos de estructuras algebraicas . El álgebra abstracta es principalmente el estudio de estructuras algebraicas específicas y sus propiedades. Las estructuras algebraicas pueden verse de diferentes maneras, sin embargo, el punto de partida común de los textos de álgebra es que un objeto algebraico incorpora uno o más conjuntos con una o más operaciones binarias u operaciones unarias que satisfacen una colección de axiomas .

Otra rama de las matemáticas conocida como álgebra universal estudia las estructuras algebraicas en general. Desde el punto de vista del álgebra universal, la mayoría de las estructuras se pueden dividir en variedades y cuasivariedades según los axiomas utilizados. Algunos sistemas formales axiomáticos que no son ni variedades ni cuasivariedades, llamados no variedades , a veces se incluyen entre las estructuras algebraicas por tradición.

En los artículos enumerados se encontrarán ejemplos concretos de cada estructura.

Las estructuras algebraicas son tan numerosas hoy en día que este artículo inevitablemente estará incompleto. Además de esto, a veces hay múltiples nombres para la misma estructura, y a veces un nombre será definido por axiomas discrepantes de diferentes autores. La mayoría de las estructuras que aparecen en esta página serán estructuras comunes en las que la mayoría de los autores están de acuerdo. Otras listas web de estructuras algebraicas, organizadas más o menos alfabéticamente, incluyen Jipsen y PlanetMath. Estas listas mencionan muchas estructuras que no se incluyen a continuación, y pueden presentar más información sobre algunas estructuras de la que se presenta aquí.

Estudio de estructuras algebraicas

Las estructuras algebraicas aparecen en la mayoría de las ramas de las matemáticas y podemos encontrarlas de muchas maneras diferentes.

Estudio inicial: En las universidades estadounidenses, los grupos , los espacios vectoriales y los cuerpos son generalmente las primeras estructuras que se encuentran en asignaturas como el álgebra lineal . Suelen introducirse como conjuntos con ciertos axiomas.
Estudio avanzado:
- El álgebra abstracta estudia las propiedades de estructuras algebraicas específicas.
- El álgebra universal estudia las estructuras algebraicas de forma abstracta, en lugar de tipos específicos de estructuras.
  - Variedades
- La teoría de categorías estudia las interrelaciones entre diferentes estructuras, algebraicas y no algebraicas. Para estudiar un objeto no algebraico, suele ser útil utilizar la teoría de categorías para relacionar el objeto con una estructura algebraica.
  - Ejemplo: El grupo fundamental de un espacio topológico proporciona información sobre el espacio topológico.

Tipos de estructuras algebraicas

En términos generales, una estructura algebraica puede utilizar cualquier número de conjuntos y cualquier número de axiomas en su definición. Sin embargo, las estructuras que se estudian con más frecuencia suelen implicar solo uno o dos conjuntos y una o dos operaciones binarias . Las estructuras que se muestran a continuación están organizadas según la cantidad de conjuntos implicados y la cantidad de operaciones binarias utilizadas. El aumento de la sangría pretende indicar una estructura más exótica, y los niveles menos sangrados son los más básicos.

Un conjunto sin operaciones binarias

Conjunto : estructura algebraica degenerada S que no tiene operaciones.
Conjunto puntiagudo : S tiene uno o más elementos distinguidos, a menudo 0, 1 o ambos.
Sistema unario: S y una única operación unaria sobre S .
Sistema unario puntiagudo : sistema unario con S un conjunto puntiagudo.

Una operación binaria en un conjunto

Las siguientes estructuras de tipo grupo consisten en un conjunto con una operación binaria. La operación binaria puede indicarse con cualquier símbolo o sin símbolo (yuxtaposición). La estructura más común es la de un grupo . Otras estructuras implican el debilitamiento o fortalecimiento de los axiomas de los grupos y pueden utilizar además operaciones unarias.

Magma o grupoide : S y una única operación binaria sobre S.
Semigrupo : un magma asociativo .
Monoide : un semigrupo con elemento identidad .
Grupo : un monoide con una operación unaria (inversa), que da lugar a elementos inversos .
- Grupo abeliano : grupo cuya operación binaria es conmutativa .
Cuasigrupo : magma que cumple la propiedad del cuadrado latino. Un cuasigrupo también puede representarse mediante tres operaciones binarias. ^[1]
Bucle : un cuasigrupo con identidad .
Semirretículo : semigrupo cuya operación es idempotente y conmutativa. La operación binaria puede denominarse encuentro o unión . Básicamente, se trata de la "mitad" de una estructura reticular (véase más abajo).

Dos operaciones binarias en un conjunto

Los principales tipos de estructuras con un conjunto que tiene dos operaciones binarias son los ringoides o similares a anillos y los reticulados o simplemente reticulados . Los ringoides y los reticulados se pueden distinguir claramente a pesar de que ambos tienen dos operaciones binarias definitorias. En el caso de los ringoides, las dos operaciones están vinculadas por la ley distributiva ; en el caso de los reticulados, están vinculadas por la ley de absorción . Los ringoides también tienden a tener modelos numéricos , mientras que los reticulados tienden a tener modelos de teoría de conjuntos .

En estructuras tipo anillo o ringoides, las dos operaciones binarias a menudo se denominan adición y multiplicación , y la multiplicación está vinculada a la adición por la ley distributiva .

Semiring : un anillo tal que S es un monoide bajo cada operación. Se supone que la adición es conmutativa y asociativa, y se supone que el producto monoide se distribuye sobre la adición en ambos lados, y la identidad aditiva 0 es un elemento absorbente en el sentido de que 0 x = 0 para todo x .
Anillo cercano : un semianillo cuyo monoide aditivo es un grupo (no necesariamente abeliano).
Anillo : un semianillo cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano.
- Anillo conmutativo : anillo en el que la operación de multiplicación es conmutativa.
- Anillo de división : un anillo no trivial en el que se define la división por elementos distintos de cero.
- Dominio integral : Un anillo conmutativo no trivial en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero.
- Campo : un anillo de división conmutativo (es decir, un anillo conmutativo que contiene un inverso multiplicativo para cada elemento distinto de cero).
Anillos no asociativos : son como los anillos, pero la operación de multiplicación no necesita ser asociativa.
- Anillo de Lie : un anilloide cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano, pero cuya operación multiplicativa satisface la identidad de Jacobi en lugar de la asociatividad.
- Anillo de Jordan : un anillo conmutativo no asociativo que respeta la identidad de Jordan
Anillo booleano : un anillo conmutativo con operación de multiplicación idempotente.
Álgebras de Kleene : un semianillo con adición idempotente y una operación unaria, la estrella de Kleene , que satisface propiedades adicionales.
*-álgebra o *-anillo : un anillo con una operación unaria adicional (*) conocida como involución , que satisface propiedades adicionales.
Aritmética: suma y multiplicación sobre un conjunto infinito , con una estructura unaria puntiaguda adicional. La operación unaria es sucesora inyectiva y tiene como elemento distinguido el 0.
- Aritmética de Robinson . La suma y la multiplicación se definen recursivamente mediante el sucesor. El 0 es el elemento de identidad de la suma y anula la multiplicación. La aritmética de Robinson se incluye aquí a pesar de ser una variedad, debido a su proximidad con la aritmética de Peano.
- Aritmética de Peano . Aritmética de Robinson con un esquema axiomático de inducción . La mayoría de los axiomas de anillos y cuerpos relacionados con las propiedades de la suma y la multiplicación son teoremas de la aritmética de Peano o extensiones propias de esta.

Las estructuras reticulares tienen dos operaciones binarias llamadas encuentro y unión , conectadas por la ley de absorción .

Latticoid: se reúnen y se unen al viajero pero no necesitan asociarse .
Red oblicua : se encuentran y se unen asociados pero no necesitan conmutar.
Enrejado : reunirse, unirse, asociarse y viajar.
- Red completa : una red en la que existen encuentros y uniones arbitrarias .
- Red acotada : una red con un elemento mayor y un elemento menor.
- Red complementada : red acotada con una operación unaria, complementación, denotada por el sufijo ^⊥ . La unión de un elemento con su complemento es el elemento mayor, y el encuentro de los dos elementos es el elemento menor.
- Red modular : una red cuyos elementos satisfacen la identidad modular adicional .
- Red distributiva : red en la que cada elemento que se encuentra y se une se distribuye sobre el otro. Las redes distributivas son modulares, pero no se cumple lo contrario.
- Álgebra de Boole : una red distributiva complementada. Tanto el encuentro como la unión se pueden definir en términos del otro y de la complementación. Se puede demostrar que esto es equivalente a la estructura en forma de anillo del mismo nombre mencionada anteriormente.
- Álgebra de Heyting : una red distributiva acotada con una operación binaria añadida, pseudocomplemento relativo , denotada por el operador infijo →, y gobernada por los axiomas:
  - x → x = 1
  - x ( x → y ) = x y
  - y ( x → y ) = y
  - x → ( y z ) = ( x → y ) ( x → z )

Estructuras tipo módulo en dos conjuntos

Las siguientes estructuras tipo módulo tienen la característica común de tener dos conjuntos, A y B , de modo que hay una operación binaria de A × A en A y otra operación de A × B en A . Los módulos, contando las operaciones de anillo, tienen al menos tres operaciones binarias.

Grupo con operadores : un grupo G con un conjunto Ω y una operación binaria Ω × G → G que satisface ciertos axiomas.
Módulo : un grupo abeliano M y un anillo R que actúan como operadores sobre M. Normalmente , M se define como "sobre R ". Los miembros de R se denominan a veces escalares y la operación binaria de multiplicación escalar es una función R × M → M , que satisface varios axiomas.
- Espacios vectoriales : Un módulo donde el anillo R es un anillo de división o un cuerpo .
  - Espacios vectoriales graduados : espacios vectoriales que están equipados con una descomposición de suma directa en subespacios o "grados".
  - Espacio cuadrático : un espacio vectorial V sobre un cuerpo F con una forma cuadrática en V que toma valores en F.
- Otros tipos especiales de módulos, incluidos los módulos libres , los módulos proyectivos , los módulos inyectivos y los módulos planos, se estudian en el álgebra abstracta.

Estructuras de tipo algebraico en dos conjuntos

Estas estructuras se definen sobre dos conjuntos, un anillo R y un R -módulo M dotado de una operación llamada multiplicación. Esto puede verse como un sistema con cinco operaciones binarias: dos operaciones sobre R , dos sobre M y una que involucra tanto a R como a M . Muchas de estas estructuras son estructuras híbridas de las mencionadas anteriormente.

Álgebra sobre un anillo (también R-álgebra ): un módulo sobre un anillo conmutativo R , que también conlleva una operación de multiplicación que es compatible con la estructura del módulo. Esto incluye distributividad sobre adición y linealidad con respecto a la multiplicación por elementos de R .
- Álgebra sobre un cuerpo : Se trata de un anillo que es también un espacio vectorial sobre un cuerpo. Se suele suponer que la multiplicación es asociativa. La teoría está especialmente bien desarrollada.
Álgebra asociativa : un álgebra sobre un anillo tal que la multiplicación es asociativa .
Álgebra no asociativa : módulo sobre un anillo conmutativo, dotado de una operación de multiplicación de anillos que no es necesariamente asociativa. A menudo, la asociatividad se sustituye por una identidad diferente, como la alternancia , la identidad de Jacobi o la identidad de Jordan .
- Álgebra de Lie : un tipo especial de álgebra no asociativa cuyo producto satisface la identidad de Jacobi .
- Álgebra de Jordan : un tipo especial de álgebra no asociativa cuyo producto satisface la identidad de Jordan .
Coálgebra : espacio vectorial con una "comultiplicación" definida de manera dual a la de las álgebras asociativas.
Coalgebra de Lie : espacio vectorial con una "comultiplicación" definida de manera dual a la de las álgebras de Lie.
Álgebra graduada : espacio vectorial graduado con una estructura algebraica compatible con la gradación. La idea es que si se conocen las calificaciones de dos elementos a y b , entonces se conoce la calificación de ab y , por lo tanto, se determina la ubicación del producto ab en la descomposición.
Espacio del producto interior : un espacio vectorial F V con una forma bilineal definida V × V → F .
Biálgebra : un álgebra asociativa con una estructura de coalgebra compatible.
Biálgebra de Lie : un álgebra de Lie con una estructura de biálgebra compatible.
Álgebra de Hopf : una biálgebra con un axioma de conexión (antípoda).
Álgebra de Clifford : álgebra asociativa graduada que además cuenta con un producto exterior del que se pueden derivar varios productos interiores posibles. Las álgebras exteriores y las álgebras geométricas son casos especiales de esta construcción. $\mathbb {Z} _ {2}$

Estructuras algebraicas con estructura no algebraica adicional

Hay muchos ejemplos de estructuras matemáticas donde la estructura algebraica coexiste con la estructura no algebraica.

Los espacios vectoriales topológicos son espacios vectoriales con una topología compatible .
Grupos de Lie : Son variedades topológicas que también llevan una estructura de grupo compatible.
Los grupos ordenados , los anillos ordenados y los campos ordenados tienen una estructura algebraica compatible con un orden en el conjunto.
Álgebras de von Neumann : son *-álgebras en un espacio de Hilbert que están equipadas con la topología de operador débil .

Estructuras algebraicas en diferentes disciplinas

Algunas estructuras algebraicas se utilizan en disciplinas ajenas al álgebra abstracta. A continuación se pretende demostrar algunas aplicaciones específicas en otros campos.

En Física :

Los grupos de Lie se utilizan ampliamente en física. Algunos de los más conocidos son los grupos ortogonales y los grupos unitarios .
Álgebras de Lie
Espacios interiores de productos
Álgebra de Kac-Moody
Los cuaterniones y, de manera más general, las álgebras geométricas

En lógica matemática :

Las álgebras de Boole son a la vez anillos y redes, bajo sus dos operaciones.
- Las álgebras de Heyting son un ejemplo especial de álgebras booleanas.
Aritmética de Peano
Álgebra de límites
Álgebra MV

En informática :

Véase también

Referencias

^ Jonathan DH Smith (15 de noviembre de 2006). Introducción a los cuasigrupos y sus representaciones. Chapman & Hall. ISBN 9781420010633. Recuperado el 2 de agosto de 2012 .

Garrett Birkhoff , 1967. Lattice Theory , 3.ª ed., AMS Colloquium Publications, vol. 25. American Mathematical Society.
———, y Saunders MacLane , 1999 (1967). Álgebra , 2.ª ed. Nueva York: Chelsea.
George Boolos y Richard Jeffrey , 1980. Computabilidad y lógica , 2.ª ed. Cambridge Univ. Press.
Dummit, David S., y Foote, Richard M., 2004. Álgebra abstracta , 3.ª ed. John Wiley and Sons.
Grätzer, George, 1978. Álgebra universal , 2.ª ed. Springer.
David K. Lewis , 1991. Parte de Clases . Blackwell.
Michel, Anthony N., y Herget, Charles J., 1993 (1981). Álgebra aplicada y análisis funcional . Dover.
Potter, Michael, 2004. Teoría de conjuntos y su filosofía , 2.ª ed. Oxford Univ. Press.
Smorynski, Craig, 1991. Teoría de números lógicos I . Springer-Verlag.

Una monografía disponible gratuitamente en línea:

Burris, Stanley N., y HP Sankappanavar, HP, 1981. Un curso de álgebra universal. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .

Enlaces externos

Jipsen:
- Lista alfabética de estructuras algebraicas; incluye muchas no mencionadas aquí.
- Libros y apuntes de clases online.
- Mapa que contiene alrededor de 50 estructuras, algunas de las cuales no aparecen en la imagen. Asimismo, la mayoría de las estructuras que aparecen en la imagen no aparecen en este mapa.
Índice de temas de PlanetMath.
Hazewinkel, Michiel (2001) Enciclopedia de Matemáticas. Springer-Verlag.
Página de Mathworld sobre álgebra abstracta.
Enciclopedia de Filosofía de Stanford : Álgebra de Vaughan Pratt .