Condiciones de causalidad

En el estudio de los espacios-tiempos múltiples de Lorentz existe una jerarquía de condiciones de causalidad que son importantes para probar teoremas matemáticos sobre la estructura global de tales variedades. Estas condiciones fueron recogidas a finales de los años 1970. ^[1]

Cuanto más débil es la condición de causalidad en un espacio-tiempo, más no físico es el espacio-tiempo. Los espacio-tiempos con curvas temporales cerradas , por ejemplo, presentan graves dificultades de interpretación. Véase la paradoja del abuelo .

Es razonable creer que cualquier espacio-tiempo físico satisfará la condición de causalidad más fuerte: la hiperbolicidad global . Para tales espacios-tiempos, las ecuaciones de la relatividad general pueden plantearse como un problema de valor inicial en una superficie de Cauchy .

La jerarquía

Existe una jerarquía de condiciones de causalidad, cada una de las cuales es estrictamente más fuerte que la anterior. A esto a veces se le llama escalera causal . Las condiciones, de más débiles a más fuertes, son:

• No totalmente vicioso
• Cronológico
• Causal
• Distintivo
• Fuertemente causal
• Estable causal
• Causalmente continuo
• Causalmente simple
• Globalmente hiperbólico

Se dan las definiciones de estas condiciones de causalidad para una variedad de Lorentz . Cuando se dan dos o más, son equivalentes. ${\displaystyle (M,g)}$

Notación :

• ${\displaystyle p\ll q}$denota la relación cronológica .
• ${\displaystyle p\prec q}$denota la relación causal .

(Ver estructura causal para definiciones de , y . ) ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle \,I^{-}(x)}$ ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$ ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$

No totalmente vicioso

• Para algunos puntos tenemos . ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p\not \ll p}$

Cronológico

• No existen curvas cronológicas (temporales) cerradas.
• La relación cronológica es irreflexiva : para todos . ${\displaystyle p\not \ll p}$ ${\displaystyle p\in M}$

Causal

• No existen curvas causales cerradas (no espaciales).
• Si ambos y entonces ${\displaystyle p\prec q}$ ${\displaystyle q\prec p}$ ${\displaystyle p=q}$

Distintivo

Distinguir el pasado

• Dos puntos que comparten el mismo pasado cronológico son el mismo punto: ${\displaystyle p,q\in M}$

${\displaystyle I^{-}(p)=I^{-}(q)\implies p=q}$

• De manera equivalente, para cualquier vecindad de existe una vecindad tal que ninguna curva no espacial dirigida al pasado se cruza más de una vez. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$

Distinguiendo el futuro

• Dos puntos que comparten el mismo futuro cronológico son el mismo punto: ${\displaystyle p,q\in M}$

${\displaystyle I^{+}(p)=I^{+}(q)\implies p=q}$

• De manera equivalente, para cualquier vecindad de existe una vecindad tal que ninguna curva no espacial dirigida al futuro se cruza más de una vez. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$

Fuertemente causal

• Para cada vecindad de existe una vecindad por la cual ninguna curva temporal pasa más de una vez. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$
• Para cada vecindad de existe una vecindad que es causalmente convexa en (y por tanto en ). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$
• La topología de Alexandrov concuerda con la topología múltiple.

Estable causal

Para cada una de las condiciones de causalidad más débiles definidas anteriormente, hay algunas variedades que satisfacen la condición y que pueden violarse mediante perturbaciones arbitrariamente pequeñas de la métrica. Un espacio-tiempo es establemente causal si no se puede hacer que contenga curvas causales cerradas mediante ninguna perturbación menor que alguna magnitud finita arbitraria. Stephen Hawking demostró ^[2] que esto equivale a:

• Existe una función de hora global en . Se trata de un campo escalar cuyo gradiente es en todas partes temporal y dirigido al futuro. Esta función de tiempo global nos brinda una forma estable de distinguir entre futuro y pasado para cada punto del espacio-tiempo (y por lo tanto no tenemos violaciones causales). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \nabla ^{a}t}$

Globalmente hiperbólico

• ${\displaystyle \,M}$es fuertemente causal y cada conjunto (para puntos ) es compacto . ${\displaystyle J^{+}(x)\cap J^{-}(y)}$ ${\displaystyle x,y\in M}$

Robert Geroch demostró ^[3] que un espacio-tiempo es globalmente hiperbólico si y sólo si existe una superficie de Cauchy para . Esto significa que: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$es topológicamente equivalente a alguna superficie de Cauchy (aquí se denota la línea real ). ${\displaystyle \mathbb {R} \times \!\,S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ver también

• Tiempo espacial
• variedad lorentziana
• estructura causal
• Colector globalmente hiperbólico
• Curva temporal cerrada

Referencias

1. E. Minguzzi y M. Sanchez, La jerarquía causal del espacio-tiempo en H. Baum y D. Alekseevsky (eds.), vol. Desarrollos recientes en geometría pseudo-riemanniana, ESI Lect. Matemáticas. Phys., (Eur. Math. Soc. Publ. House, Zurich, 2008), págs. 299–358, ISBN  978-3-03719-051-7 , arXiv:gr-qc/0609119
2. SW Hawking, La existencia de funciones de tiempo cósmico Proc. R. Soc. Londres. (1969), A308 , 433
3. R. Geroch, Dominio de la dependencia Archivado el 24 de febrero de 2013 en archive.today J. Math. Física. (1970) 11 , 437–449

• SW Hawking , GFR Ellis (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-20016-4.
• SW Hawking , W. Israel (1979). Relatividad general, una encuesta del centenario de Einstein. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-22285-0.