A nivel internacional se dio a conocer en los Campeonatos de Europa de 1954 en Berna, donde ganó en los 5.000 metros derrotando a los grandes favoritos, el checo Emil Zátopek y el británico Christopher Chataway, y batiendo además el récord mundial con 13:56,6 Era el primero de sus cuatro récords mundiales en esta prueba.
Poco antes de los Juegos había establecido en Moscú un nuevo récord mundial en los 10 000 metros con 28:30,4 En la primera final, precisamente la de 10 000 metros, Kuts lideró la prueba desde el inicio, como en él era habitual.
Cinco días más tarde, la final de los 5.000 metros se presentaba a priori más complicada, pues estaba presente el británico Gordon Pirie, que había batido ese año el récord mundial.
Era su segunda medalla de oro y se convertía en el tercer hombre en la historia en hacer el doblete en 5.000 y 10 000 metros en unos mismos Juegos, tras Hannes Kolehmainen en 1912 y Emil Zátopek en 1952 En 1957 estableció en Roma su último récord mundial en los 5.000 metros con 13:35,0 una marca que permanecería imbatida hasta 1965, cuando la superó el australiano Ron Clarke.
Kuts fue el mejor corredor de fondo que hubo en la Unión Soviética.