Fue presidente del Club Atlético de Madrid durante 21 años en dos etapas no consecutivas: desde 1964 hasta 1980, y de nuevo desde 1982 hasta su muerte, lo que le convierte en el mandatario más longevo y laureado al frente del equipo madrileño.

[7]​ De pequeño cursó la educación básica en los Salesianos, pero cuando tenía 15 años tuvo que dejar los estudios para ayudar a su familia.

[5]​ Durante la guerra civil española fue reclutado por el bando sublevado y llegó a combatir en la batalla de Teruel.

[17]​ Cuatro años después de la apertura, las cuentas del club registraron beneficios por primera vez.

[21]​ Los socios reconocieron su gestión bautizando la cancha en 1971 como «estadio Vicente Calderón», nombre oficial a partir de 1972.

[22]​ Esa etapa coincidió con la llegada de una generación de futbolistas que sería recordada en la historia del club: Luis Aragonés (1964-74), José Armando Ufarte (1964-74), José Eulogio Gárate (1966-77), Javier Irureta (1967-75) y Alberto (1969-79),[23]​ siempre capitaneados por el veterano Adelardo Rodríguez (1959-74).

[6]​ Bajo su presidencia el equipo conquistó su mayor triunfo internacional hasta la fecha, la Copa Intercontinental 1974.

[47]​ Si bien el F. C. Barcelona había presentado una oferta superior, Sánchez prefirió irse al Real Madrid después de ser convencido por su recién electo presidente Ramón Mendoza.

[53]​[54]​ Aun cuando ya era notorio que padecía problemas de salud,[55]​ decidió posponer un año las elecciones previstas para 1986 y presentarse a la reelección.

[60]​ El mandatario había sufrido una hemorragia cerebral frontal derecha que requirió intervención quirúrgica.

[61]​ Tras permanecer dos días en coma, Vicente Calderón falleció en la mañana del 24 de marzo, producto de un paro cardiorrespiratorio secundario a hipertensión intracraneal, según el parte médico entregado por el neurocirujano Emilio Ley.

[62]​ La noticia conmocionó a la sociedad española, y los referentes del deporte en aquella época coincidieron en resaltar su contribución.

[67]​[68]​ De hecho, Gil fue el último presidente elegido por los socios: en 1992 la entidad fue transformada en una sociedad anónima deportiva y pasó a estar controlada por accionistas.