Sidney, cuyo verdadero nombre era Sophia Kosow, nació en el Bronx, Nueva York.

[2]​ Sus padres se divorciaron en 1915 y fue adoptada por su padrastro Sigmund Sidney, dentista.

Trabajó junto a estrellas de la categoría de Gary Cooper, Spencer Tracy, Henry Fonda, Joel McCrea, Fredric March, George Raft —un compañero frecuente en sus películas—, y Cary Grant.

Ya mayor siguió interpretando papeles secundarios, y era identificable por su voz ronca, resultado de su tabaquismo.

También tuvo papeles importantes en Beetlejuice, dirigida por Tim Burton —fan de Sidney—, y en Used People (Romance otoñal), junto a Jessica Tandy, Marcello Mastroianni, Marcia Gay Harden, Kathy Bates y Shirley MacLaine.