Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de diferencia constante 2, así como 5, 2, −1, −4,… es una progresión aritmética de diferencia constante −3.En una progresión aritmética, si se toman dos términos consecutivos de cualquiera de esta, la diferencia entre ambos es una constante, denominada diferencia.Esto se puede expresar como una relación de recurrencia de la siguiente manera: Conociendo el primer término a1 y la diferencia d, se puede calcular el enésimo término de la progresión mediante sustitución sucesiva en la relación de recurrencia con lo que se obtiene una fórmula para el término general de una progresión aritmética, escrita de manera compacta como:También se puede escribir el término general de otra forma.Para ello se consideran los términos am y an (mexpresión más general que (I), pues da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.Dependiendo de si la diferencia d en una progresión aritmética es positiva, nula o negativa, se tiene que:[1][2] Una progresión aritmética que es una sucesión en que el primer término es b y la diferencia d de dos términos consecutivos es constante se define por las dos condiciones siguientes: es una ecuación recursiva de segundo orden[3] La suma de los términos en un segmento inicial de una progresión aritmética se conoce a veces como serie aritmética.Por ejemplo, considérese la suma: La suma puede calcularse rápidamente tomando el número de términos n de la progresión (en este caso 5), multiplicando por el primer y último término de la progresión (aquí 2 + 14 = 16), y dividiendo entre 2.Tomando la fórmula, sería: Esta fórmula funciona para cualquier progresión aritmética de números reales conociendoPor ejemplo: Sea una progresión aritmética de término generaly de diferencia d, la suma de los n términos es: aplicando la fórmula (II), cada término a1, a2, a3, ..., am de la progresión se puede expresar en términos del enésimo comoAsí : Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, se anulan todos los términos que están multiplicados por d: de lo que se obtiene que En cualquier progresión aritmética de diferencia d la suma del primer y último término es igual a la del segundo y el penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, y así sucesivamente.Si la progresión cuenta con un número impar de términos, el término central ac es aquel que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de esta.Para el caso impar, hay (n-1)/2 sumas con valor (a1 + an) más el término central, que está ubicado en la posición Sustituyendo c en la fórmula (I) y operando un poco, el término también queda representado en función de (a1 + an), como por lo que en total, hay n/2 sumas con valor (a1 + an) como en el caso par y la fórmula queda validada para todo n. Hallar la suma de los n primeros enteros positivos, corresponde a calcular la serie aritmética de los n términos de la progresión aritmética de diferencia d=1 y término inicial a1=1: que, para cada valor de n, también se conoce como número triangular.Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por Carl Friedrich Gauss cuando tenía diez años.Su maestro, en la primera clase de aritmética, pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 primeros números y él calculó el resultado de inmediato: 5050.[4] El producto de los términos de una progresión aritmética finita cuyo término inicial es a1, diferencia d, y n elementos en total está determinado por la expresión en forma cerrada donde(Nótese sin embargo que la fórmula no es válida cuandoy de que el producto para enteros positivos
Los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general
a
n
= 5
n
. Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central.
