Soldados de Conway
Es una variante del solitario senku que se realiza en un tablero infinito.
El tablero se divide por una línea horizontal que se extiende de forma indefinida, sobre la cual aparecen celdas vacías y en la parte inferior una cantidad arbitraria de piezas o soldados, una por casilla.
Al igual que en el juego de damas, los movimientos consisten en que una pieza brinque sobre otra pieza adyacente, ya sea vertical u horizontalmente (pero no en diagonal) y "capturándola" (eliminándola del tablero) en el proceso.
El objetivo del juego es llevar a un soldado por encima y tan lejos de la línea horizontal como sea posible.
Este argumento ha sido presentado en diversos libros de matemática popular.
Simon Tatham y Gareth Taylor han demostrado que es posible alcanzar la quinta fila mediante una cantidad infinita de movimientos, mismo resultado que aparece también en un artículo de Pieter Blue y Stephen Hartke.
Cuando se permiten saltos en diagonal, es posible llevar a los soldados hasta la octava fila (pero no hasta la novena).
Se ha demostrado también que, en la versión n-dimensional del juego, la máxima fila que se puede alcanzar es 3n-2.
El argumento de Conway demuestra que la fila 3n-1 no es alcanzable aunque es considerablemente más complicado demostrar que sí es posible llegar a la fila 3n-2, como demuestran en el artículo de Eriksson y Lindstrom.
Podemos suponer que las casillas corresponden a puntos del plano cartesiano con coordenadas enteras, que los soldados están inicialmente en casillas cuya ordenadas (coordenada y) no son positivas y sin pérdida de generalidad podemos asumir que la casilla objetivo está en las coordenadas (0,5).
A cada punto de coordenadas enteras ocupado por un soldado le asignamos el valor
donde n es la distancia de ese punto a la casilla objetivo en la métrica del taxi y Consideramos entonces la suma S de todos los términos que corresponden a posiciones ocupadas.
para cualquier valor entero de r. Si al realizar un salto, el soldado se aleja de la casilla objetivo, si su posición tenía originalmente el valor
) quedan vacías de manera que la suma total del tablero cambia por
dicho cambio es negativo por lo que la suma de todo el tablero disminuye.
Por otro lado, si al realizar un salto el soldado se acerca a la casilla objetivo, partiendo desde una posición con valor
, en otras palabras, la suma total del tablero permanece sin cambio.
Es posible demostrar, usando series convergentes, junto a la propiedad
, que si todas las casillas con coordenadas y negativas o cero estuvieran ocupadas, la suma total del tablero sería igual a 1, y por tanto cualquier configuración finita tiene una suma total estrictamente menor que 1.
Por otra parte, mencionamos arriba que cualquier movimiento hace que la suma total se mantenga igual o disminuya, pero nunca aumente.
Finalmente, si tras una serie finita de movimientos algún soldado llegase a la casilla que corresponde al punto (0,5), el valor que tendría asignado sería
Lo anterior es una contradicción, puesto que ningún movimiento puede hacer que la suma total aumente y por tanto nunca puede exceder su valor inicial igual a uno.
La conclusión es, entonces, que no es posible que un soldado llegue a la casilla correspondiente al (5,0), es decir, un soldado nunca puede avanzar cinco filas hacia arriba.
