A partir de aquí comienza una carrera que le mantendría ligado al Ajax durante prácticamente 17 años.

Swart vivió aquellos años como parte integrante de aquel equipo que comenzó una fase gloriosa conquistando los Campeonatos neerlandeses de 1966, 1967, y 1969, y comenzó a aparecer con fuerza en el escenario europeo.

En esta época ya jugaban en el Ajax junto al legendario Swart cracks como: Suurbier, Neeskens, el líbero iugoslavo Vasovic, el ponta Keizer y, principalmente Johan Cruyff.

A los Swart, Cruyff, Suuribier y compañía se unieron otros grandes cracks como: Arie Haan, Ruud Krol y Johnny Rep, que haría el gol de la victoria del tricampeonato europeo contra la Juventus, en 1973.

Conquistó también la Copa Intercontinental, en 1972, con la victoria sobre Club Atlético Independiente 3:0, después de empatar en la ida en Buenos Aires.