Espacio separable

En topología, un espacio topológico es un espacio separable si incluye un subconjunto denso numerable.Un espacio de Hilbert es separable si y solamente si admite una base ortonormal numerable.un espacio de Hilbert separable.Si {ek}k ∈ B es una base ortonormal numerable de H, entonces cada elemento x de H se puede escribir como Esta suma también se llama la expansión de Fourier de x.Ejemplos de espacios de Hilbert son{\displaystyle \mathbb {K} ^{n}\,}el espacio de las sucesiones complejas cuadrado-sumablesy el espacio de las funciones cuadrado-integrables en el sentido de LebesgueUna gran variedad de espacios de Hilbert que se presentan en la práctica son separables y son en particular los espacioslos prototipos principales de espacios de Hilbert, pues todo espacio de Hilbert separable de dimensión finitamientras que todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isomorfo aConstituye un espacio de Hilbert no separable, dotado del producto escalar entre dos funciones f y g:{\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{S_{f}\cap S_{g}}{\overline {f(x)}}g(x)}Necesariamente estas funciones de este espacio de Hilbert no son continuas, ya que los espacios normados de funciones reales continuas definidas enson siempre separables.