Al igual que sus padres, Roberto Enríquez nació en Fabero, pueblo de la provincia de León, pero vivió y se formó profesionalmente en Valladolid, hasta que se desplazó a Madrid para empezar su carrera como actor.

Su interpretación en La gaviota, dirigida por Amelia Ochandiano en 2002-2003, lo llevó a estar nominado para los premios Max y en los premios Unión de Actores del año 2003, en la categoría de Mejor actor protagonista.

Dicha obra contó también con los actores Carmen Elías, Silvia Abascal, Marta Fernández Muro y Pedro Casablanc, entre otros.

En el año 2005 interpretó a Virgilio en la obra Infierno basada en laDivina Comedia de Dante Alighieri y dirigida por Tomaž Pandur.

Se inicia en la serie Colegio Mayor en 1994, donde compartía papel con intérpretes consagrados como Antonio Resines, Enrique San Francisco o Jorge Sanz, y otras jóvenes promesas como Ángeles Martín, Daniel Guzmán, Cayetana Guillén Cuervo, Lola Baldrich o Achero Mañas entre otros.

Su debut en el cine fue en 1999 en la película de Manuel Iborra, Pepe Guindo, protagonizada por Fernando Fernán Gómez.

[1]​ En el 2002 se hace más conocido, para el público, por su papel en Esencia de poder, una telenovela emitida por Telecinco y con Marián Aguilera como contrapunto femenino.

No abandona la televisión y aparece en series de éxito como Hospital Central, para luego pasar a coprotagonizar con Sancho Gracia, Cayetana Guillén Cuervo y Sergio Peris-Mencheta la serie de televisión Lobos.

Participa en la miniserie que narra las aventuras del famoso atracador de banco El solitario, interpretando al inspector Daniel Figuera.

La serie consta de tres temporadas, emitidas en la cadena pública hasta principios del 2010.

En abril de 2010 inicia el rodaje de ‘La princesa de Éboli‘, película para televisión producida, por nostro TV, para Antena 3 Televisión,[5]​ La ficha artística la componen los siguientes actores: Belén Rueda, Hugo Silva, Eduard Fernández, Michelle Jenner, Roberto Enríquez, Pedro Casablanc, Nathalie Poza, Álex Angulo, Nuria Mencía, Petra Martínez, Ferrán Rañé.

En marzo 2023 inicia el rodaje de la película “Aves de corral” bajo el guion y la dirección de Antonio Vicent y con un reparto formado por Chechu Salgado, Diego Anido, Olivia Baglivi, José Luis García Pérez, Roberto Enríquez, Pedro Casablanch, Daniel Ibañez, Clara Alvarado, Antonio Durán Morris, Roberto García y Belén Écija.