Número feliz
Los números felices se definen por el siguiente procedimiento: empezando con cualquier número entero positivo, se reemplaza el número por la suma de los cuadrados de sus dígitos, y se repite el proceso hasta que el número es igual a 1 o hasta que se entra en un bucle que no incluye el 1.
Aquellos que no, son conocidos como números infelices (o tristes).
[2] Un número primo que además es un número feliz se llama primo feliz.
es feliz si y sólo si existe i de tal modo que
después de algunas iteraciones se considera entonces que
Es fácil comprobar que hay infinitos números felices, ya que los cuadrados de los dígitos de cualquier número de la forma
natural) suman 4, que es un número infeliz.
Existen dos números felices de una cifra: 1 y 7.
(7 es además un primo feliz) Existen 17 números felices de dos cifras: 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94 y 97.
Existen 123 números felices de tres cifras: 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998.
[4] Los primeros primos felices son 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239... (Secuencia A035497 de la OEIS) El segundo y el tercer número primo repituno (1111111111111111111 y 11111111111111111111111) son además primos felices.
De los 51 números perfectos que se conocen, solo tres son además felices: 28, 496 y 8128.
Al igual que con los números primos felices, no se sabe si existen infinitos perfectos felices.
En el sistema binario (base 2), todos los números son felices.
La operación de sumar cuadrados se simplifica, ya que solo hace falta contar cuántos 1 tiene el desarrollo binario del número, un valor conocido como peso de Hamming.
El peso de Hamming de un número siempre es menor que el propio número (si exceptuamos el 1 y el 0).
Por lo tanto, se alcanza siempre el 1 como peso de Hamming.
