El teorema de Van der Waerden establece que para cualesquiera enteros positivos r y k existe un entero positivo N tal que si los enteros
son coloreados, cada uno con uno de r distintos colores, entonces hay al menos k números en progresión aritmética todos de un mismo color.
Existen dos casos en los que el número de van der Waerden
para cualquier entero k, ya que un solo color produce el coloreado trivial
(para el único color denotado con R).
Segundo, cuando la longitud k de la progresión aritmética forzada es 2, uno tiene
ya que es posible construir un coloreado que evite las progresiones aritméticas de longitud 2 usando cada color hasta un máximo de una vez, pero usar cualquier color dos veces creará una progresión aritmética de longitud 2.
, el coloreado más largo que evita una progresión de longitud 2 es
Sólo existen otros siete números de van der Waerden cuyos valores se conocen exactamente.
El cuadro reproducido abajo reporta los valores exactos y límites para valores de
; éstos vienen del trabajo de Rabung and Lotts, excepto donde se mencione lo contrario.
[1] Los número de van der Waerden con
tienen un límite superior dado por según la prueba de Gowers.
tal que cualquier coloración de los enteros
colores contiene una progresión de longitud
Dichos números se llaman números de van der Waerden fuera de la diagonal (en inglés: off-diagonal van der Waerden numbers.
A continuación se presenta una lista de algunos números de van der Waerden conocidos: w(2; 3,3) 9 Chvátal[2] Los números de van der Waerden son primitivo recursivos, según la prueba de Shelah;[20] en la que probó que están (cuando más) en el quinto nivel