Damsgaard comenzó su carrera deportiva en el F. C. Nordsjælland de la Superliga de Dinamarca.

[2]​ En la Superliga danesa debutó el 26 de noviembre de 2017, en un partido frente al AC Horsens.

[5]​ Después de dos años en el fútbol italiano, el 10 de agosto de 2022 fue traspasado al Brentford F. C., equipo con el que firmó un contrato por cinco temporadas.

[7]​[8]​ En su segundo encuentro anotó sus primeros dos goles con la selección en un triunfo por 8-0 ante Moldavia válido para la clasificación para el Mundial de 2022.

En las semifinales ante Inglaterra puso por delante a Dinamarca en el marcador con un gol de falta, sin embargo, serían los ingleses quienes se clasificarían para la final tras vencer en la prórroga.