Posee el título de programador en informática, aunque desde muy joven se dedicó al ajedrez profesional.

Desde niño se mostró como una gran esperanza del ajedrez español, logrando el Campeonato infantil de Cataluña en 1977.

En julio de 1996 obtuvo su mejor clasificación en la lista mundial con 2640 puntos, ocupando el puesto 30 del mundo.

Illescas ha vencido tres torneos zonales en Los Yébenes (Toledo) 1990, Lisboa 1993 y Linares 1995, pero no ha pasado de la fase interzonal en ninguna ocasión.

Sus resultados detallados son:[5]​ Illescas ha ganado a muchos grandes jugadores, como Anatoli Kárpov, Veselin Topalov, Víktor Korchnói, Gata Kamsky, Péter Lékó, Nigel Short, Alexéi Shírov, Borís Gélfand, Michael Adams, Judit Polgár, Valeri Sálov, Alekséi Dréyev, Alexander Beliavsky, Artur Yusúpov o Joel Lautier.