En matemáticas, se dice que una matriz cuadrada es diagonal dominante (por filas) si el valor absoluto de la entrada en la diagonal principal de una fila es mayor o igual a la suma de los valores absolutos de todas las demás entradas (no diagonales) de esa fila.
Una matriz cuadrada
i j
{\displaystyle A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )}
es diagonal dominante (por filas) si:
j ≠ i
{\displaystyle \vert a_{ii}\vert \geq \sum _{j\neq i}\vert a_{ij}\vert \quad \forall i\in \{1,..,n\}}
De forma análoga se define una matriz diagonal dominante por columnas.
En el caso de que la desigualdad sea estricta, se dice que la matriz es estrictamente diagonal dominante.
La matriz es diagonal dominante porque
La matriz no es diagonal dominante porque
Es decir, la primera y la tercera fila no cumplen la condición.
La matriz es estrictamente diagonal dominante porque
{\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )}
es estrictamente diagonal dominante, entonces
Por contrarrecíproco, supongamos que
no es invertible.
Entonces su núcleo no es trivial, es decir, existe un vector
no nulo tal que
Entonces, se tiene que:
i j
tal que
{\displaystyle \vert x_{i}\vert =\max\{\vert x_{k}\vert :k=1,...,n\}}
j ≠ i
i j
{\displaystyle -a_{ii}x_{i}=\sum _{j\neq i}{a_{ij}x_{j}}\Longrightarrow \vert a_{ii}x_{i}\vert =\left\vert \sum _{j\neq i}{a_{ij}x_{j}}\right\vert \leq \sum _{j\neq i}{\vert a_{ij}x_{j}\vert }}
, y teniendo en cuenta que
{\displaystyle \left\vert {\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right\vert \leq 1\quad \forall j=1,...,n}
{\displaystyle \vert a_{ii}\vert \leq \sum _{j\neq i}{\vert a_{ij}\vert \left\vert {\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right\vert }\leq \sum _{j\neq i}{\vert a_{ij}\vert }}
no es estrictamente diagonal dominante.