[2]​ Klostermann comenzó a jugar al fútbol cuando tenía cinco o seis años.

[3]​ Formó parte de varios equipos juveniles del FSV Gevelsberg, SSV Hagen y VfL Bochum.

En total disputó 13 partidos con el primer equipo, marcando un gol y asistiendo una vez.

Sin embargo, marcó un autogol y ayudó al equipo a ganar 3-1 más adelante en el juego.

[18]​ En el final de la temporada 2014-15, Klostermann tuvo algunas apariciones en el primer equipo tras la crisis defensiva del club.

[20]​ Al final de la temporada 2014-15, Klostermann jugó en 15 partidos y anotó solamente un gol.

[27]​ Solamente hizo una aparición en la temporada como titular, en la victoria por 1-0 sobre el Borussia Dortmund en la segunda jornada.

[29]​ No fue hasta mayo de 2017 cuando volvió a entrenar con el primer equipo en plena recuperación.

[30]​ En la temporada 2017-18, Klostermann recuperó su lugar en el RB Leipzig, jugando en la posición de lateral derecho.

[35]​ Al final de la temporada 2017-18, Klostermann pasó a hacer treinta y nueve apariciones en todas las competencias disputadas.

Antes de la temporada 2018-19, Klostermann fue vinculado a un posible fichaje al AS Roma, pero desestimó la jugada y quiso quedarse en el club.

[45]​ Al final de la temporada 2018-19, Klostermann pasó a hacer cuarenta apariciones y anotó cinco goles.

[54]​[55]​ Meses después, en septiembre de 2015, Lukas debutó con la selección sub-21 en la victoria por 2-1 ante Dinamarca, en un partido amistoso jugando solamente 8 minutos en el segundo tiempo.

Ya en la Eurocopa sub-21, Klostermann fue titular en todos los partidos, llegando a la final contra España, la cual perderían por 2:1.

El único juego que no disputó completo fue el de Fiyi, en el cual salió al iniciada la segunda mitad.

[61]​ Otros tres días más tarde, el 10 de agosto, Klostermann ganaría con la selección su tercer y último partido de primera fase ante Fiyi por 10 a 0, asistiendo el cuarto gol para Nils Petersen en el primer tiempo.

[65]​ En el partido final del 20 de agosto, la selección olímpica se enfrentó a equipo local, Brasil, ante el cual empataron por 1:1.