Llamado así en honor al matemático ruso Andréi Kolmogórov, establece que la probabilidad de cierto tipo de eventos llamados eventos de cola es cero o uno.
Los eventos de cola son aquellos definidos por una sucesión infinita de eventos independientes y que son independientes de cualquier subconjunto finito de estos.
Por ejemplo, supongamos infinitas realizaciones de una variable aleatoria de Bernoulli que vale uno con probabilidad
), y cero con probabilidad
El evento: "que salga en total una cantidad finita de unos" es independiente de cualquier número finito de realizaciones: examinando una cantidad finita de realizaciones no podemos concluir nada respecto a si la cantidad de unos fue finita o infinita.
{\displaystyle \left\{{\mathcal {G}}_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}\,}
sigma-álgebras independientes definidas para un espacio
y una medida de probabilidad
Definimos las siguientes sigma-álgebras : Entonces, para todo
Consideremos el conjunto de sigma-álgebras
{\displaystyle \left\{{\mathcal {H}}_{\infty },{\mathcal {G}}_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}}
Tenemos que cualquier subconjunto finito de este conjunto forman un grupo independiente de sigma-álgebras.
Esto es porque si elegimos una cantidad finita de miembros de
, con N el máximo índice de los
Por lo tanto, todas las sigma-álgebras de dicho conjunto son independientes entre sí, lo que implica que
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }:=\sigma \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {G}}_{i}\right)}
es independiente de sí mismo, implicando que: de donde se concluye el resultado.