Debutando en 1969 por la liga jujeña en el clásico contra Altos Hornos Zapla, anotó tres goles.

Luego pasó a Central Norte de Salta, lugar donde habría realizado el servicio militar, llamado popularmente como «La Colimba».

Durante esos años, Juan Carlos Lorenzo quiso llevarlo a Boca Juniors, tal como había hecho con otros jugadores que conocía de su paso por Unión de Santa Fe, pero fue algo que nunca se concretó.

[2]​ En 1981 regresó a Unión, donde anotó diez tantos, y luego jugaría durante el segundo semestre de ese año en Los Jaibos del Deportivo Tampico de México,[15]​ donde señaló diez goles.

Jugó once partidos del Nacional, marcando tan sólo dos goles, ambos a Platense.

En julio del 2020, Leopoldo Jacinto Luque reveló que fue secuestrado por militares de la dictadura cívico militar argentina.

Antes había vivido otra situación en relación con el régimen, rumbo al debut contra Hungría, que relata en una entrevista:"El micro tenía una radio Motorola y por ahí recibían las órdenes estos policías.

El día del debut, cuando estamos yendo a la cancha, se escucha un ruido en la radio.

Me acuerdo que se hizo un silencio temeroso"[23]​En 1979, Leopoldo Jacinto Luque fue asaltado y secuestrado.

Pero me da bronca cuando dicen que salimos campeones gracias a la dictadura.

Notó que un auto lo seguía, acelerando para estar cerca de él.

A unas pocas cuadras de su domicilio, decide ceder el paso al automóvil que lo seguía.

Con sus cuatro anotaciones terminó cuarto en la tabla general de goleadores detrás de Kempes (6), del peruano Teófilo Cubillas (5) y del holandés Rob Rensenbrink (5), y junto al austriaco Hans Krankl.

En la mañana de ese mismo día, su hermano de 24 años Oscar Fernando Luque, apodado "Cacho", que deseaba visitarlo en Buenos Aires, perdió la vida en un accidente mientras viajaba por la Ruta Panamericana en un camión junto a su amigo Leopoldo "Pollo" Cáceres, quien conducía el vehículo.

[30]​ Previamente, en el decisivo encuentro ante Perú, que ya estaba eliminado del torneo, convirtió dos goles más.