Durante dos años, fue titular en equipo de los Indios en la Dominican Summer League.

En 1991, se unió al equipo de Clase A los Burlington Royals donde lideró la liga en blanqueadas y en Hit by pitch.

Tavárez progresó rápidamente al año siguiente, jugando en Kinston, Canton-Akron Indians, y finalmente con los Indios de Cleveland.

Durante su tiempo con los Canton-Akron Indians, Tavárez ganó los honores como Mejor Jugador del Año en la Carolina League y fue nombrado el mejor prospecto de la liga por Baseball America.

Tavárez fue degradado al equipo de Triple-A, Charlotte en 1994, donde lideró la International League en victorias.

Fue el primero en victorias, tercero en entradas lanzadas, y quinto en efectividad entre los lanzadores relevistas de la Liga Americana y lanzó 4.1 entradas en blanco contra los Bravos de Atlanta en la Serie Mundial.

El 11 de abril, ejecutó un toque seguro para establecer su primera carrera impulsada.

Luego hizo su primer juego multi-hit contra Pittsburgh el 24 de julio.

Permitió 25 carreras y tuvo un opponents batting average de.391 en el primer inning.

Había permitido un cuadrangular en solitario de Carlos Beltrán, concedió dos bases por bolas y golpeó a un bateador.

[3]​ En los spring training, se había asumido que Tavárez iba a mantener el quinto puesto en la rotación de los Medias Rojas por el lanzador prospecto Jon Lester, mientras este se recuperaba de cáncer.

Más tarde aceptó una asignación al equipo Triple-A Pawtucket Red Sox a pesar de que podría haber optado por la agencia libre.

Ese día, hizo su debut contra los Dodgers de Los Angeles.

[10]​ En julio de 2009 fue designado para asignación por los Nacionales, y finalmente liberado.