García Laparra creció como jugador en las divisiones inferiores de Aurora F.C.

de Guatemala, luego se dio a conocer en la Liga Mayor jugando para el Deportivo Suchitepéquez.

El 18 de diciembre de 2012 firma un contrato por dos temporadas y media con el Club Social y Deportivo Municipal.

En la temporada 2014/15 pasa a formar parte de la plantilla del Club Social y Deportivo Coatepeque.

Josué también ha sido convocado a selección nacional de Guatemala[1]​