Empezó a trabajar en la radio para evitar madrugar como su padre en la pescaderia, aunque haciendo programas matinales, como su paso mítico por Els Matins de TV3.

En esta presentó el magacín matinal Els matins amb Josep Cuní durante cuatro temporadas.

En el verano del 2000, Cuní abandonó COMRàdio y se trasladó con su programa y su equipo a otra emisora recién nacida, Ona Catalana, en la que permaneció durante tres años.

Estuvo al frente de este programa matinal durante 4 años.

Durante los años 2022 a 2024 dirigió el informativo 24 horas en Radio Nacional de España.