Apareció en múltiples producciones de Broadway y fue nominada dos veces al Premio Tony por Mejor actriz en un musical por sus interpretaciones de Lizzie Curry en 110 in the Shade e Irene Adler en Baker Street.

Estudió arte dramático en la Universidad del Noroeste con Alvina Krause, entre otros,[7]​[8]​ y fue miembro de la hermandad Alpha Phi.

Al principio de su carrera, Swenson tuvo papeles secundarios en las películas Advise and Consent (1962) y The Miracle Worker (1962), en la que interpretó a la madre de Helen Keller.

Interpretó a Gretchen Kraus, la autocrática y mordaz cocinera alemana (más tarde ama de llaves y directora de presupuestos) en la comedia Benson.

También interpretó a la matriarca del norte Maude Hazard en la miniserie North and South en 1985 y de nuevo en 1986.