Tras jugar en el Étoile des Deux Lacs de París, llegó a ser árbitro.

Comenzó su carrera como dirigente en 1906 cuando fue presidente de Étoile des Deux Lacs, entonces Secretario General del Comité Francés Interfederal (CFI), antecesor de la Federación Francesa de Fútbol.

Cuando el CFI pasó a ser la Federación Francesa De fútbol en 1919, él permaneció como Secretario General.

Henri fue el principal responsable de la creación de la actual Eurocopa en 1927, el trofeo que pasó a tener su nombre, no pasó a disputarse hasta 1960.

Tras su muerte, su hijo Pierre Delaunay le sucedió en 1955 al frente de la UEFA.