m × n
y de rango
es un factorización de la forma
m × r
r × n
Para construir una factorización de este tipo se puede calcular
, la forma escalonada reducida de
se obtiene eliminando de
todas las columnas que no son columnas pivote, y
eliminando todas las filas de ceros de
de permutación tal que
{\displaystyle AP=(C,D)}
en forma de bloques, donde las columnas de
columnas pivote de
es una combinación lineal de las columnas de
, luego hay una matriz
contienen los coeficientes de cada una de esas combinaciones lineales.
{\displaystyle AP=(C,CG)=C(I_{r},G)}
Mostraremos a continuación que
{\displaystyle (I_{r},G)=FP}
en su forma escalonada reducida equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz
que es un producto de matrices elementales, con lo que
{\displaystyle EAP=BP=EC(I_{r},G)}
, lo que nos permite identificar
{\displaystyle (I_{r},G)=FP}
filas no nulas de la forma escalonada reducida, con la misma permutación de columnas que aplicamos a la matriz
es invertible, esto implica que
, lo que completa la prueba.