[1] Se componen de dos ecuaciones una que describe el movimiento de las partículas del sólido deformable y otra para los giros, cada ecuación contiene las características del sólido rígido a las que se añaden las cuatro deformaciones canónicas: axial, momento flector, cortadura y torsor.
Las ecuaciones permiten la transformación entre el espacio vectorial de deformaciones al espacio vectorial de desplazamientos.
Las ecuaciones de Navier-Bresse se introducen en mecánica para que sea posible la compatibilidad cinemática.
Sea UA la energía de deformación en un punto A del sólido deformable, las fuerzas sometidas al sólido producirán desplazamientos y rotaciones.
Donde el término de la izquierda indica las rotaciones del sólido rígido (S.R.)
), mientras que los términos tercero y cuarto corresponden a los del sólido deformable.
El tercero indica el desplazamiento inducido por los propios de las rebanadas (debido a las fuerzas axiles) y el cuarto es debido al desplazamiento inducido por los giros de las rebanadas.
Por simplicidad se consideran casos bidimensionales de estructuras sometidas a cargas de diferentes tipos.
Por esta razón todos los movimientos axiles se realizaran sobre este eje, siendo ux el valor del desplazamiento.
Las fuerzas cortantes producen desplazamientos a lo largo del eje de las y (a igual que los momentos).
Debido a la existencia de una carga en el plano X-Y, se supone que no hay fuerzas de torsión sobre la viga.
De acuerdo con todo esto, y suponiendo que se somete a un momento constante de valor M a este sólido, se tiene que los giros se deben a los momentos aplicados al sólido y por lo tanto respetan la ecuación: En el caso de los desplazamientos se tiene que las fuerzas axiles Fx provocan movimientos a lo largo del eje de las x, cuyos desplazamientos ux se expresan mediante: Donde
Las fuerzas de carga cortantes Fy provocan los desplazamientos wy Completando un total de tres ecuaciones.